一、树（Tree）：分层有序的非线性结构
1.1 树的核心定义与基本术语
树是 n（n≥0） 个结点的有限集合，核心特征是分层、无环、仅有一个根节点：
- 空树：
n=0的特殊情况； - 非空树规则：
- 有且仅有一个 "根结点"（最顶层结点）；
- 其余结点可分为
m个互不相交的子集合（子树），每个子树仍是树。
关键术语
| 术语 | 定义 |
|---|---|
| 结点的度 | 结点拥有的子树个数 |
| 叶结点（终端结点） | 度为 0 的结点（无子女） |
| 分支结点（非终端结点） | 度不为 0 的结点 |
| 树的度 | 树中所有结点的度的最大值 |
| 树的深度 / 高度 | 从根开始分层，根为第 1 层，叶子所在的最大层数为树的深度 |
树的存储方式
- 顺序结构：基于数组存储（如完全二叉树的数组表示）；
- 链式结构：基于指针存储（如二叉树的链式结点），灵活性更高。
1.2 二叉树（Binary Tree）：树的核心子集
二叉树是树中应用最广的结构，定义为：n 个结点的有限集合，要么为空，要么由根结点 + 左子树 + 右子树 组成（左右子树互不相交且有序）。
二叉树核心特点
- 每个结点最多有 2 棵子树（度≤2）；
- 左 / 右子树有严格顺序，不可颠倒（即使只有 1 棵子树，也要区分左右）；
- 空树、单结点树均属于二叉树。
特殊二叉树
| 类型 | 定义 | 核心特征 |
|---|---|---|
| 斜树 | 所有结点仅有左子树（左斜树）或仅有右子树（右斜树） | 退化为单链表，查找效率 O (n) |
| 满二叉树 | 所有分支结点都有左右子树，且叶子结点在同一层 | 深度为 k 时，结点总数 = 2ᵏ-1 |
| 完全二叉树 | 按层序编号后，每个结点的编号与同深度满二叉树的编号完全一致 | 叶子结点仅出现在最后两层，效率接近满二叉树 |
二叉树的核心特性（必背）
- 第
i层最多有2^(i-1)个结点（i≥1）； - 深度为
k的二叉树，至多有2ᵏ - 1个结点（k≥1）； - 任意二叉树中，叶子结点数
n₀= 度为 2 的结点数n₂ + 1（n₀ = n₂ + 1）； - 有
n个结点的完全二叉树，深度为⌊log₂n⌋ + 1（向下取整）。
1.3 二叉树的遍历方式
遍历是访问二叉树所有结点的核心操作，分为深度遍历 和广度（层序）遍历：
1.3.1 广度遍历（层序遍历）
- 规则：从上到下、从左到右按层访问结点；
- 实现：借助队列（先进先出），根结点入队 → 出队访问 → 左右子结点入队 → 循环至队空；
- 应用：按层打印、求树的宽度、找某一层的结点。
1.3.2 深度遍历（递归 / 栈实现）
| 遍历方式 | 规则 | 示例（根 A，左 B，右 C） |
|---|---|---|
| 前序遍历 | 根 → 左 → 右 | A → B → C |
| 中序遍历 | 左 → 根 → 右 | B → A → C |
| 后序遍历 | 左 → 右 → 根 | B → C → A |
1.4 树的核心应用场景
- 二叉搜索树（BST）：有序存储，支持 O (logn) 查找 / 插入 / 删除；
- 平衡二叉树（AVL / 红黑树）：解决 BST 退化为链表的问题，用于 Map/Set 底层；
- 堆（完全二叉树）：优先队列、TopK 问题、排序（堆排序）；
- 多叉树：文件系统目录、XML/JSON 解析、数据库索引。
二、哈希（Hash）：极速存取的映射技术
哈希（散列）是一种 "键 - 值" 映射技术，核心是通过哈希函数将数据的 "键（key）" 转换为存储位置，实现 O (1) 级别的存取效率。
2.1 哈希的核心定义
- 存储位置 =
f(key)：f：哈希函数（散列函数），负责将 key 转换为数组下标；key：待存储 / 查询的数据；- 存储位置：数组中存储该数据的地址（下标）。
- 核心载体：通常基于顺序表（数组） 实现（需支持随机访问）。
2.2 哈希函数的设计要点
一个优秀的哈希函数需满足两个核心条件：
- 计算简单：快速得到存储位置，避免额外性能开销；
- 地址分布均匀：尽量减少 "哈希冲突"，提高空间利用率。
常见哈希函数设计方法
| 方法 | 原理 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 直接定值法 | f(key) = a*key + b（a、b 为常数） |
key 分布连续且范围小（如学号、员工编号） |
| 平方取中法 | 将 key 平方后，取中间几位作为下标 | key 分布随机（如字符串、不规则数字） |
| 折叠法 | 将 key 拆分为等长段，叠加后取结果作为下标 | key 位数多（如身份证号、手机号） |
| 求余法 | f(key) = key % size（size 为数组长度） |
通用场景（最常用），建议 size 取质数 |
2.3 哈希冲突：不可避免的问题
冲突定义
f(key1) = f(key2) 但 key1 ≠ key2：不同数据通过哈希函数计算出相同的存储位置。
冲突解决方法
| 方法 | 原理 | 优缺点 |
|---|---|---|
| 线性探测 | 冲突后依次尝试 +1、+2、+3... 直到找到空位置 |
实现简单，易产生 "堆积"（连续冲突） |
| 二次探测 | 冲突后尝试 ±1²、±2²、±4²... 直到找到空位置 |
减少堆积，仍有局部冲突 |
| 随机探测 | 冲突后尝试 +rand()%size 随机位置 |
分布更均匀，需保证遍历所有位置 |
| 链地址法 | 数组每个位置存储一个链表，冲突数据挂在链表上 | 无堆积，效率稳定（HashMap 底层方案） |
2.4 哈希的 ADT（抽象数据类型）定义
c
运行
typedef int DATATYPE;
// 哈希表结构（数组实现）
typedef struct
{
DATATYPE* head; // 哈希表数组指针
int tlen; // 哈希表总长度
} HS_TABLE;
// 核心操作函数
HS_TABLE* CreateHsTable(int len); // 创建哈希表
int insertHsTable(HS_TABLE*hs,DATATYPE*data); // 插入数据
int SearchHsTable(HS_TABLE*hs,DATATYPE*data); // 查询数据
int DestroyHsTable(HS_TABLE*hs); // 销毁哈希表2.5 哈希的核心应用场景
- 缓存系统（如 Redis）：通过 key 极速查找 value；
- 去重 / 计数（如统计字符出现次数）；
- 数据库索引：哈希索引（对比 B + 树索引）；
- 编程语言容器（如 Java HashMap、Python dict）。
三、树 vs 哈希：核心区别与选型建议
| 维度 | 树（以二叉搜索树为例） | 哈希（链地址法） |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | 查找 / 插入 O (logn)（平衡树） | 理想 O (1)，冲突时 O (n) |
| 有序性 | 天然有序（中序遍历可排序） | 无序（需额外排序） |
| 空间利用率 | 无浪费（链式存储） | 需预留空间（避免冲突） |
| 适用场景 | 有序查询、范围查找（如找 [10,20] 的数） | 单点极速查询、键值映射 |
| 实现复杂度 | 较高（需处理平衡、遍历） | 较低（核心是哈希函数 + 冲突处理） |
选型建议
- 需有序 / 范围查询：选树（如红黑树、B + 树）；
- 需极速单点查询：选哈希（如 HashMap）；
- 数据量小、简单场景：哈希更易实现；
- 数据量大、需稳定性能：平衡树更可靠。
四、总结
- 树：以二叉树为核心，通过分层有序存储实现 O (logn) 的查找效率，适合有序、层级化的场景，是解决 "有序遍历、范围查询" 的核心工具；
- 哈希：通过 "键 - 位置" 映射实现 O (1) 极速存取，适合 "单点查询、键值映射" 场景，核心是哈希函数设计和冲突处理；
- 两者互补：工程中常结合使用（如 Redis 的有序集合 = 哈希 + 跳表）。