【二分查找】P9029 [COCI 2022/2023 #1] Čokolade|普及+

本文涉及的基础知识点

C++二分查找

P9029 [COCI 2022/2023 #1] Čokolade

题目背景

Lana 和 Fran 正在参观一家巧克力工厂，现在他们想买些巧克力。

题目描述

巧克力工厂里有 n n n 块不同的巧克力，其中第 i i i 块的价格为 c i c_i ci。Lana 和 Fran 想买 m m m 块巧克力。

Fran 有一个消费方案：

•如果巧克力价格低于 k k k 元，这块巧克力的费用将全部由 Lana 支付。

•否则，Lana 将支付 k k k 元，而 Fran 将支付其余的部分，即 c i − k c_i−k ci−k 元。

Lana 对 Fran 的方案不满意，想要报复 Fran。设 l l l 为 Lana 需要支付的金额， f f f 为 Fran 需要支付的金额。Lana 将选择使 l − f l−f l−f 的值最小的购买方案。

由于 Fran 还在犹豫，不知道要买多少巧克力，所以 Lana 想知道对于给出的 q q q 种不同的购买方案 k i k_i ki 和 m i m_i mi，每种方案 l − f l−f l−f 的最小值。

输入格式

第一行包含两个整数 n n n 和 q q q，分别表示巧克力的数量和询问数量。

第二行包含 n n n 个整数 c i c_i ci，依次表示每块巧克力的价格。

接下来 q q q 行，每行包含两个整数 k i k_i ki 和 m i m_i mi，分别表示 Fran 的付款阈值和购买的巧克力总数量。

输出格式

输出 q q q 行，每行一个整数表示 Lana 询问的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 2
1 9 22 10 19
18 4
5 2

输出 #1

34
-21

输入输出样例 #2

输入 #2

7 4
1 5 4 3 7 11 9
5 4
5 7
7 3
4 5

输出 #2

4
16
7
1

输入输出样例 #3

输入 #3

3 3
5 6 7
10 1
5 3
3 3

输出 #3

5
12
0

说明/提示

子任务	分值	特殊性质
1 1 1	15 15 15	n , q ≤ 1000 , c i , k i ≤ 10 6 n,q \leq 1000,c_i,k_i\leq 10^6 n,q≤1000,ci,ki≤106
2 2 2	20 20 20	所有询问的 k k k 都相等
3 3 3	35 35 35	无特殊性质

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ m i ≤ n , q ≤ 10 5 , 1 ≤ c i , k i ≤ 10 9 1\leq m_i\leq n,q\leq 10^5,1\leq c_i,k_i \leq 10^9 1≤mi≤n,q≤105,1≤ci,ki≤109。

本题满分 70 70 70 分。

[COCI 2022/2023 #1] ?okolade 二分查找

性质一 ：如果ci < K，贡献为：ci，故越小越好；如果ci >=K，则贡献为2K-ci，故越大越好。
结论一 ：如果选择了m1个小于K的ci，则一定是最小的m1个；如果选择了m2个大于等于K的ci，则一定是选择最大的m2个。

c升序排序，N1=c中小于K的数量,N2=max(0,M-(N-N1)), N3=min(N1,M)。f(i)=选择i个最小的，m-i个最大的贡献。 i ∈ [ N 2 , N 3 ] i\in[N2,N3] i∈[N2,N3]。
g [ i ] = f ( i + 1 ) − f ( i ) = c i + c N − ( M − i ) − 2 K g[i] = f(i+1)-f(i) = c_{i} + c_{N-(M-i)}-2K g[i]=f(i+1)−f(i)=ci+cN−(M−i)−2K,如果g(i)小于0，则f(i+1)优于f(i)。寻找第一个g(i) >=0的f(i)就是答案。g(i)单调递增，随着i的增加而增加，故>=0后，永远>=0。

令g[N3] = 1，故$i\in[N2,N3]一定有解。由于N>M，故[N2,N3]一定非空。因为任选M个是解。时间复杂度：O(QlogM)。

代码

不知道何种原因，开启O2 优化后，代码就有问题。

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:
	CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex, INDEX_TYPE tol = 1) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex), m_iTol(tol) {}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr)
	{
		auto left = m_iMin - m_iTol;
		auto rightInclue = m_iMax;
		while (rightInclue - left > m_iTol)
		{
			const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				rightInclue = mid;
			}
			else
			{
				left = mid;
			}
		}
		return rightInclue;
	}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr)
	{
		INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;
		INDEX_TYPE right = m_iMax + m_iTol;
		while (right - leftInclude > m_iTol)
		{
			const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				leftInclude = mid;
			}
			else
			{
				right = mid;
			}
		}
		return leftInclude;
	}
protected:
	const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax, m_iTol;
};

class Solution {
		public:
			vector<long long> Ans( const int N, vector<int>& c,vector<pair<int,int>>& km) {
				sort(c.begin(), c.end());
				vector<long long> preSum(N + 1);
				for (int i = 1; i <= N; i++) {
					preSum[i] = preSum[i - 1] + c[i-1];
				}
				vector<long long> ans;
				for (const auto& [K, M] : km) {
					const int& N1 = lower_bound(c.begin(), c.end(),K) - c.begin();
					const int& N2 = max(0, M - (N - N1));
					const int& N3 = min(N1, M);
					auto Check = [&](int mid) {
						if (N3 == mid) { return false; }
						return (c[mid] + c[N - (M - mid)] - 2*(long long)K) > 0;
					};
					auto M1 = CBinarySearch<int>(N2, N3).FindFrist(Check);
					const auto M2 = M - M1;
					long long cur = preSum[M1] - (preSum.back() - preSum[N - M2])+ (long long)K*2*M2;
					ans.emplace_back(cur);
				}		
				return ans;
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int N,Q;
	cin >> N >> Q ;
	auto c = Read<int>(N);
	auto km = Read<pair<int,int>>(Q);
	auto res = Solution().Ans(N,c,km);
	
#ifdef _DEBUG		
	printf("N=%d", N);
	Out(c, ",c=");
	Out(km, ",km=");
	//Out(B, "B=");
	//Out(que, "que=");
	//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
	for (const auto& i : res) {
		cout << i << "\n";
	}
	return 0;
}

单元测试

int N;
		vector<int> c;
		vector<pair<int, int>> km;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			N = 5, c = { 1,9,22,10,19 }, km = { {18,4},{5,2} };
			auto res = Solution().Ans(N,c,km);
			AssertEx({ 34,-21 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			N = 7, c = { 1,5,4,3,7,11,9 }, km = { {5,4},{5,7},{7,3},{4,5} };
			auto res = Solution().Ans(N, c, km);
			AssertEx({ 4,16,7,1 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			N = 3, c = { 5,6,7 }, km = { {10,1},{5,3},{3,3} };
			auto res = Solution().Ans(N, c, km);
			AssertEx({ 5,12,0 }, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。