20260112树状数组总结

引子

树状数组是一种支持单点修改和区间查询码量低常数小的数据结构。

任何数字都可以表示为不超过logn个2的幂次之和，例如7=4+2+1，这一特性就是树状数组的核心理论。

关键在于设计一种数据结构，使得任意前缀和都能由logn个区间和表示以及每个位置最多被logn个区间覆盖，这样就能实现单点修改和区间查询。

树状数组通过lowbit运算实现这一目标。lowbit定义为数字二进制表示中最右边的1所代表的值，可通过x&-x快速计算。例如6的lowbit是2(110)、8的lowbit是8(1000)

在具体实现中，t $i$ 存储以 i 为右端点长度为lowbit(i)的区间和，前缀和计算采用递推的方式sum(7)=t[7]+t[6]+t[4]，其中6=7-lowbit(7)、4=6-lowbit(6)

单点更新时，由于t $i$ 包含位置 i，所以只需要沿着lowbit递增的方向更新所有相关区间就行了，同样利用lowbit实现高效处理。

B3612 【深进1.例1】求区间和

虽然这道题用前缀和比树状数组快一倍，但如果用树状数组写的话呃比模板题会简单一些。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;//树状数组参考模板
int s[100005],n;
int lowbit(int x){//lowbit函数
    return x&(-x);
}
void add(int i,int x){//递增
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))s[i]+=x;
}
int sum(int i){//求区间和
    int sm=0;
    for(;i>0;i-=lowbit(i))sm+=s[i];
    return sm;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        add(i,x);//递增
    }
    int m;
    cin>>m;
    while(m--){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<sum(r)-sum(l-1)<<endl;//前缀和
    }
    return 0;
}

P3374 【模板】树状数组 1

单点修改和区间查询。

这里说明一下树状数组是可以中途单点修改的。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s[500005],n;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int i,int x){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))s[i]+=x;
}
int sum(int i){
    int sm=0;
    for(;i>0;i-=lowbit(i))sm+=s[i];
    return sm;
}
int main(){
    int m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        add(i,x);
    }
    while(m--){
        int opt,x,y;
        cin>>opt>>x>>y;
        if(opt==1){//这里判断一下是单点修改还是区间查询
            add(x,y);
        }else{
            cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;//还是前缀和
        }
    }
    return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

区间修改和单点查询。

首先直接x到y都递增一次会发现TLE70分，于是考虑用树状数组维护一个差分数组，三函数一样，输入a数组时add(a $i$ -a $i-1$ )；要区间修改时add(l,k)add(r+1,k)，还是差分；单点查询时输出sum(x)，相当于差分之后进行一次前缀和。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[500005],s[500005],n;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int i,int x){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))s[i]+=x;
}
int sum(int i){
    int sm=0;
    for(;i>0;i-=lowbit(i))sm+=s[i];
    return sm;
}
int main(){
    int m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    while(m--){
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1){
            int x,y,k;
            cin>>x>>y>>k;
            add(x,k);
            add(y+1,-k);
        }else{
            int x;
            cin>>x;
            cout<<sum(x)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}