浅谈随机化与模拟退火
前言
模拟赛时朋友经常用随机化乱搞，导致最后一道黑被他骗了 40 p t s 40pts 40pts，而我拼尽全力只有 10 p t s 10pts 10pts，不过也是我太菜了。
后来回家后研究了几天的随机化算法，本文是总结。
随机化算法如果能用上非常好用，几乎无脑敲代码，甚至可以轻松 A 掉难题。
随机数
随机是随机化的基础。即获取随机数。
这个比较简单，不想讲。
注意开始时随机下种子。
随机算法
随机算法的特点是玄学。一般用来打暴力骗分，或者用一些随机算法比如模拟退火搞正解。
随机算法可以分为以下步骤：
比如打乱一个数列的顺序、每个元素分配集合、给元素赋值等。
即答案跟什么有关。
字面意思，将随机后的元素状态进行计算。
字面意思，把随机后的结果与最优值比较，取最优。
正确概率
这个在做题时一般不用算，因为算了不会优化也没用。
我们设随机的总情况有 S S S 种，能使答案正确的情况有 A A A 种，我们能够随机 T T T 次。
那么显然正确的概率就是 ( 1 − ( S − A S ) T ) × 100 % (1-(\frac{S-A}{S})^T)\times 100\% (1−(SS−A)T)×100%。
注意概率不是 A T S \frac{AT}{S} SAT，至于为什么：
"一发导弹拦截率是 70 % 70\% 70%，我一下子打 3 3 3 发，拦截率就是 210 % 210\% 210%！"
随机算法的优化方法
随机算法本质是舍弃了正确性换时间复杂度。所以优化可以往时间和正确性想。
但正确性不怎么常用，而且每题都不一定一样。
优化时间
在随机过程中尽量避免无意义情况。
如果计算的时候有式子，可以化简一下，维护尽量少的元素得出答案。
剪枝。这一技巧对于数据水非常好用。有时甚至可以暴力剪枝当正解。
当你优化了每次流程的时间，就可以换来更多次的随机，正确性也有所提升。
例题
洛谷 B3800 弹幕\](\[B3800 [NICA #1\] 弹幕 - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/B3800))。
这题可以更好理解如何算正确概率。
对于一个一元三次方程，它的解最多就是三个，而所有解最多 6 × 10 5 6\\times 10\^5 6×105，多随机几次一定是可以随机到的。
代码：
```cpp
#include
using namespace std;
typedef long long ljl;
inline void Rd(auto &num);
const int N=2e5+5,M=1e6+5;
const ljl Mod=1e6+1;
int n;
bool vis[M];
struct NODE{
ljl a,b,c;
}node[N];
bool check(ljl x)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(x*x*x+node[i].a*x*x+node[i].b*x+node[i].c==0)
return 0;
}
return 1;
}
int main(){
int ___=rand()%20120110;
srand(___);
Rd(n);ljl x=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
Rd(node[i].a);Rd(node[i].b);Rd(node[i].c);}
while(!check(x))
{
while(vis[x])x=1ll*rand()*rand()*rand()%Mod;
vis[x]=1;
x=1ll*rand()*rand()%Mod;
}
printf("%lld\n",x);
return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
num=0;char ch=getchar();bool f=0;
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')f=1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
if(f)num=-num;
return;
}
```
[\[USACO13OPEN\] Haywire B - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P2210)。
本题正解是状压 dp，但是显然这么做非常复杂。
考虑随机化算法。
注意到如果我们有了奶牛的排列，就可以 O ( n ) O(n) O(n) 算出答案。
所以我们可以给奶牛们随机排位置。
排完后计算答案，取最优值。
代码比较简单，就放下计算与随机的代码。
计算：
```cpp
int calc()
{
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=3;++j)
ans=ans+abs(a[i]-a[p[i][j]]);
return ans/2;
}
```
随机：
```cpp
for(int i=1;i<=n;++i)
swap(a[i],a[rand()%n+1]);//每个奶牛的位置
```
这里也是一种对于数列随机打乱的模板。
#### 爬山算法与模拟退火
##### 爬山算法
爬山算法是一种类似于贪心的局部最优算法，类似于 dfs。
我们可以把所有可能的状态设为 x x x 轴坐标（有可能状态数量是无穷的），对应的答案设为 y y y 轴坐标。
那么我们的最优解就是这个函数的峰顶。
爬山算法的思想就是一开始随机个状态，然后在附近随机搜寻状态，如果更优则采纳，否则跳过。
显然爬山算法容易陷入局部最优解。因为如果全局最优与初始状态相距太远，就基本不会被爬山算法找到。
##### 模拟退火
> 退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却．目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷．准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料．而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同．------百度百科
模拟退火与爬山算法的重要区别是它对待非更优状态不是否定，而是有概率接受。且这个概率随着时间缓慢降低。
假设我们现在的状态是 S S S，新状态是 S ′ S' S′，概率系数为 T T T，两个状态的差值为 D D D。需要保证 D ≥ 0 D\\ge 0 D≥0。
* S ′ S' S′ 比 S S S 优：直接接受。
* 以 e − D T e\^{\\frac{-D}{T}} eT−D 的概率接受。
概率系数 T T T 又叫做温度。是为了模拟金属退火时的降温过程。
如何降温？
我们再制定一个降温系数 T D TD TD，每次搜寻状态后 T ← T × T D T\\leftarrow T\\times TD T←T×TD，这样就可以让接收状态的概率越来越小，对应退火过程中分子运动越来越稳定。
而在平时做题的过程中，也可以多次退火取最优值以增加正确率。
看些例题。
[\[TJOI2010\] 分金币 - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P3878)。
如何使用模拟退火？
首先不难想到将所有金币分为两个集合，大小相差不超过 1 1 1。
我们设状态序列为 a a a。 a i a_i ai 表示第 i i i 个金币的价值。
每次搜寻新状态就是随机交换两个 a i a_i ai 与 a j a_j aj 的值。
代码：
```cpp
#include
using namespace std;
typedef long long ljl;
inline void Rd(auto &num);
#define db double
const db Td=0.996;
const int N=35;
const ljl inf=1e18;
int n,T;
ljl a[N],ans;
db Rand(){return (db)rand()/RAND_MAX;}//随机取小数
ljl calc()
{
ljl ans=0;
for(int i=1;i<=n/2;++i)ans+=a[i];
for(int i=n/2+1;i<=n;++i)ans-=a[i];
return abs(ans);
}
void Main()
{
Rd(n);ans=inf;
for(int i=1;i<=n;++i)
Rd(a[i]);
for(int _=1;_<=50;++_)
{
for(db t=5000.0;t>1e-10;t*=Td)
{
int x=rand()%n+1,y=rand()%n+1;
swap(a[x],a[y]);//随即交换
ljl nxt=calc();
db delt=(db)nxt-(db)ans;//delt>=0
if(ans>nxt)ans=nxt;
if(exp(-delt/t)>Rand())continue;//概率达到了，接受新状态
else//否则不接受新状态，换回原来的
swap(a[x],a[y]);
}
}
printf("%lld\n",ans);
return;
}
int main(){
int ___=rand()%20120110;
srand(___);
Rd(T);
while(T--)Main();
return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
num=0;char ch=getchar();bool f=0;
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')f=1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
if(f)num=-num;
return;
}
```
[P1559 运动员最佳匹配问题 - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P1559)。
也和上一题基本一样。注释在代码里。
```cpp
#include
using namespace std;
typedef long long ljl;
inline void Rd(auto &num);
#define db double
const int N=25;
const db TD=0.9983;
db Rand(){return (db)rand()/RAND_MAX;}
int n;
ljl p[N][N],q[N][N],ans,a[N];
ljl calc()
{
ljl ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
ans+=p[i][a[i]]*q[a[i]][i];
return ans;
}
void SA()
{
// for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)swap(a[i],a[rand()%n+1]);
for(db T=5000.0;T>1e-10;T*=TD)
{
int idx=rand()%n+1,t=rand()%n+1,y=0;//将idx号男与t号女配对
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(a[i]==t)
{
a[i]=a[idx];y=i;
break;
}
}
a[idx]=t;
ljl nxt=calc();
if(nxt>ans){ans=nxt;continue;}
ljl delt=ans-nxt;//delt>=0
if(exp(-delt/T)>Rand())continue;
a[idx]=a[y];a[y]=t;
}
return;
}
int main(){
srand(rand());
Rd(n);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
Rd(p[i][j]);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
Rd(q[i][j]);
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=i;
for(int _=1;_<=600;++_)
SA();
printf("%lld\n",max(0ll,ans));
return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
num=0;char ch=getchar();bool f=0;
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')f=1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
if(f)num=-num;
return;
}
```
所以说，模拟退火非常好用，把模板理解或背下来后，随便套题目。
> 模拟退火是对一道好题的不敬，但如果我又不用动脑又可以拿分我会更尊敬此题。