【数据结构与算法】第34篇：选择排序：简单选择排序与堆排序

计算机安禾2026-04-09 8:04

一、简单选择排序

1.1 算法思想

每次从待排序序列中选出最小元素，放到已排序序列的末尾。

步骤：

  1. 在[0, n-1]范围找最小值，与arr[0]交换

  2. 在[1, n-1]范围找最小值，与arr[1]交换

  3. 重复，直到所有元素有序

1.2 图解示例

text

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初始: [5, 2, 4, 6, 1, 3]

第1趟：找最小值1，与5交换 → [1, 2, 4, 6, 5, 3]
第2趟：找最小值2（已在位）→ [1, 2, 4, 6, 5, 3]
第3趟：找最小值3，与4交换 → [1, 2, 3, 6, 5, 4]
第4趟：找最小值4，与6交换 → [1, 2, 3, 4, 5, 6]
第5趟：找最小值5（已在位）→ [1, 2, 3, 4, 5, 6]

1.3 代码实现

c

复制代码 
#include <stdio.h>

void selectionSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        if (minIndex != i) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[minIndex];
            arr[minIndex] = temp;
        }
    }
}

void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int arr[] = {5, 2, 4, 6, 1, 3};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    
    printf("原数组: ");
    printArray(arr, n);
    
    selectionSort(arr, n);
    
    printf("排序后: ");
    printArray(arr, n);
    
    return 0;
}

运行结果：

text

复制代码 
原数组: 5 2 4 6 1 3 
排序后: 1 2 3 4 5 6

1.4 复杂度分析

情况 比较次数 交换次数 时间复杂度
最好 n(n-1)/2 0 O(n²)
最坏 n(n-1)/2 n-1 O(n²)
平均 n(n-1)/2 n-1 O(n²)

空间复杂度 ：O(1)
稳定性：不稳定（交换可能打乱相等元素的顺序）

二、堆排序

2.1 堆的概念

堆是一棵完全二叉树，分为：

  • 大根堆：每个节点的值 ≥ 左右孩子节点的值

  • 小根堆：每个节点的值 ≤ 左右孩子节点的值

数组存储：下标i的节点

  • 左孩子：2*i + 1

  • 右孩子：2*i + 2

  • 父节点：(i - 1) / 2

2.2 核心操作：向下调整（Heapify）

作用：当只有根节点不满足堆性质时，将其向下调整到合适位置。

步骤：

  1. 找到当前节点和左右孩子中的最大值

  2. 如果最大值不是当前节点，交换，继续向下调整

c

复制代码 
// 向下调整：将i位置的元素向下调整，使以i为根的子树满足大根堆
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
    
    if (largest != i) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[largest];
        arr[largest] = temp;
        heapify(arr, n, largest);  // 递归调整
    }
}

2.3 建堆

从最后一个非叶子节点开始，从下往上执行向下调整。

c

复制代码 
void buildHeap(int arr[], int n) {
    // 最后一个非叶子节点的下标 = (n/2) - 1
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, n, i);
    }
}

建堆过程图解 （数组 [4, 6, 3, 5, 2, 1]）：

text

复制代码 
初始完全二叉树：
        4
       / \
      6   3
     / \ /
    5  2 1

从下标2（值3）开始调整 → 不变
下标1（值6）：左右孩子5、2，6最大 → 不变
下标0（值4）：左右孩子6、3，6最大 → 交换4和6

        6
       / \
      4   3
     / \ /
    5  2 1

继续调整下标1（值4）：左右孩子5、2，5最大 → 交换4和5

        6
       / \
      5   3
     / \ /
    4  2 1

建堆完成

2.4 堆排序流程

升序排序用大根堆：

  1. 建大根堆

  2. 将堆顶（最大值）与最后一个元素交换

  3. 堆大小减1，对新的堆顶执行向下调整

  4. 重复2-3，直到堆大小为1

c

复制代码 
void heapSort(int arr[], int n) {
    // 1. 建大根堆
    buildHeap(arr, n);
    
    // 2. 反复取出堆顶
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 交换堆顶和末尾
        int temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        
        // 调整剩余部分
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

为什么升序建大堆：每次把最大值放到末尾，最后得到升序序列。

三、完整代码实现

c

复制代码 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

// 向下调整（大根堆）
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
    
    if (largest != i) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[largest];
        arr[largest] = temp;
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

// 建堆
void buildHeap(int arr[], int n) {
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, n, i);
    }
}

// 堆排序（升序）
void heapSort(int arr[], int n) {
    buildHeap(arr, n);
    
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 交换堆顶和末尾
        int temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        
        // 调整剩余部分
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

// 简单选择排序
void selectionSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        if (minIndex != i) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[minIndex];
            arr[minIndex] = temp;
        }
    }
}

// 打印数组
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

// 生成随机数组
void generateRandomArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = rand() % 10000;
    }
}

// 复制数组
void copyArray(int src[], int dst[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dst[i] = src[i];
    }
}

int main() {
    srand(time(NULL));
    
    // 基本测试
    printf("=== 基本测试 ===\n");
    int arr1[] = {4, 6, 3, 5, 2, 1};
    int n1 = sizeof(arr1) / sizeof(arr1[0]);
    printf("原数组: ");
    printArray(arr1, n1);
    
    heapSort(arr1, n1);
    printf("堆排序后: ");
    printArray(arr1, n1);
    
    // 简单选择排序测试
    int arr2[] = {5, 2, 4, 6, 1, 3};
    int n2 = sizeof(arr2) / sizeof(arr2[0]);
    selectionSort(arr2, n2);
    printf("\n简单选择排序后: ");
    printArray(arr2, n2);
    
    // 性能对比
    printf("\n=== 性能对比 ===\n");
    int sizes[] = {1000, 5000, 10000};
    int nTests = sizeof(sizes) / sizeof(sizes[0]);
    
    for (int t = 0; t < nTests; t++) {
        int n = sizes[t];
        int *arr = (int*)malloc(n * sizeof(int));
        int *arr2 = (int*)malloc(n * sizeof(int));
        
        generateRandomArray(arr, n);
        copyArray(arr, arr2, n);
        
        clock_t start, end;
        double time1, time2;
        
        start = clock();
        selectionSort(arr, n);
        end = clock();
        time1 = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC * 1000;
        
        start = clock();
        heapSort(arr2, n);
        end = clock();
        time2 = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC * 1000;
        
        printf("n=%d:\n", n);
        printf("  简单选择排序: %.2f ms\n", time1);
        printf("  堆排序:       %.2f ms\n", time2);
        printf("  堆排序是简单选择的 %.2f 倍\n\n", time1 / time2);
        
        free(arr);
        free(arr2);
    }
    
    return 0;
}

运行结果：

text

复制代码 
=== 基本测试 ===
原数组: 4 6 3 5 2 1 
堆排序后: 1 2 3 4 5 6 

简单选择排序后: 1 2 3 4 5 6 

=== 性能对比 ===
n=1000:
  简单选择排序: 2.35 ms
  堆排序:       0.18 ms
  堆排序是简单选择的 13.06 倍

n=5000:
  简单选择排序: 57.82 ms
  堆排序:       1.05 ms
  堆排序是简单选择的 55.07 倍

n=10000:
  简单选择排序: 230.45 ms
  堆排序:       2.31 ms
  堆排序是简单选择的 99.76 倍

四、堆排序的详细过程演示

c

复制代码 
// 打印堆排序每一步
void heapSortWithSteps(int arr[], int n) {
    printf("原数组: ");
    printArray(arr, n);
    
    buildHeap(arr, n);
    printf("建堆后: ");
    printArray(arr, n);
    
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        printf("交换 arr[0]=%d 和 arr[%d]=%d\n", arr[0], i, arr[i]);
        int temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        
        heapify(arr, i, 0);
        printf("调整后: ");
        printArray(arr, n);
    }
}

int main() {
    int arr[] = {4, 6, 3, 5, 2, 1};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    
    heapSortWithSteps(arr, n);
    
    return 0;
}

运行结果：

text

复制代码 
原数组: 4 6 3 5 2 1 
建堆后: 6 5 3 4 2 1 
交换 arr[0]=6 和 arr[5]=1
调整后: 5 4 3 1 2 6 
交换 arr[0]=5 和 arr[4]=2
调整后: 4 2 3 1 5 6 
交换 arr[0]=4 和 arr[3]=1
调整后: 3 2 1 4 5 6 
交换 arr[0]=3 和 arr[2]=1
调整后: 2 1 3 4 5 6 
交换 arr[0]=2 和 arr[1]=1
调整后: 1 2 3 4 5 6

五、两种选择排序对比

对比项 简单选择排序 堆排序
时间复杂度 O(n²) O(n log n)
空间复杂度 O(1) O(1)
稳定性 不稳定 不稳定
是否原地 是 是
实现难度 简单 较难
适用场景 小规模数据 大规模数据

六、堆排序的特点

优点 缺点
时间复杂度稳定 O(n log n) 不稳定排序
空间复杂度 O(1) 常数因子较大
适合大数据量 对缓存不友好
能处理数据流（TopK问题） 实现较复杂

七、小结

这一篇我们学习了两种选择排序：

算法 核心思想 时间复杂度 特点
简单选择排序 每次选最小值 O(n²) 简单但慢
堆排序 用堆结构选最大值 O(n log n) 高效稳定

堆排序的关键：

  • 大根堆：每个节点 ≥ 孩子节点

  • 建堆：从最后一个非叶子节点开始向下调整

  • 升序用大根堆：每次把堆顶（最大值）放到末尾

向下调整的递归/非递归：

c

复制代码 
// 非递归版本（避免递归深度）
void heapifyIter(int arr[], int n, int i) {
    while (1) {
        int largest = i;
        int left = 2 * i + 1;
        int right = 2 * i + 2;
        
        if (left < n && arr[left] > arr[largest]) largest = left;
        if (right < n && arr[right] > arr[largest]) largest = right;
        
        if (largest == i) break;
        
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[largest];
        arr[largest] = temp;
        i = largest;
    }
}

下一篇我们讲归并排序与基数排序。

八、思考题

  1. 简单选择排序和冒泡排序相比，哪个交换次数更少？为什么？

  2. 为什么升序排序要用大根堆而不是小根堆？

  3. 堆排序中，建堆的时间复杂度是多少？为什么？

  4. 如何在O(n log k)的时间内找到数组中最小的k个元素？

欢迎在评论区讨论你的答案。

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