【数据结构与算法】堆排序

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《数据库mysql》

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例题例题

cpp 复制代码

#include <queue>
#include <functional>
using namespace std;

class MedianFinder {
private:
    // 大顶堆：存较小的一半数字（堆顶是这半的最大值）
    priority_queue<int> maxHeap;
    
    // 小顶堆：存较大的一半数字（堆顶是这半的最小值）
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
    
public:
    MedianFinder() {
        // 构造函数，什么都不用做
    }
    
    void addNum(int num) {
        // 核心规则：
        // 1. 新数先进大顶堆（较小的一半）
        // 2. 把大顶堆的最大值移到小顶堆
        // 3. 如果小顶堆比大顶堆大，把小顶堆的最小值移回大顶堆
        
        maxHeap.push(num);
        minHeap.push(maxHeap.top());
        maxHeap.pop();
        
        // 保持平衡：maxHeap 的大小要么等于 minHeap，要么比 minHeap 多 1
        if (maxHeap.size() < minHeap.size()) {
            maxHeap.push(minHeap.top());
            minHeap.pop();
        }
    }
    
    double findMedian() {
        // 根据两个堆的大小关系返回中位数
        if (maxHeap.size() > minHeap.size()) {
            // 奇数个元素，中位数就是大顶堆的堆顶
            return maxHeap.top();
        } else {
            // 偶数个元素，中位数是两个堆顶的平均值
            return (maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2.0;
        }
    }
};

/**
 * Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:
 * MedianFinder* obj = new MedianFinder();
 * obj->addNum(num);
 * double param_2 = obj->findMedian();
 */

数据流中位数（MedianFinder）详解：为什么要用两个堆？

这道题很多人第一次看到会有点懵：

数据是不断加入的，每次都要快速返回中位数

如果你用最直接的方法：

每次插入后排序
再取中位数

复杂度是：O(n log n)（排序），明显不行。

一、核心问题

我们要解决的是：

如何在"动态插入数据"的情况下，快速找到中位数？

二、关键思路：把数据分成两半

我们可以这样想：

一半较小的数
一半较大的数

中位数就在这两部分的"交界处"。

三、为什么用两个堆？

我们用两个堆来维护：

1. 大顶堆（maxHeap）

存较小的一半
堆顶是"较小部分的最大值"

2. 小顶堆（minHeap）

存较大的一半
堆顶是"较大部分的最小值"

这样：

如果总数是奇数 → 中位数就是 maxHeap.top()
如果是偶数 → 中位数是两个堆顶的平均

四、关键难点：如何维持平衡？

必须保证：

maxHeap.size() == minHeap.size()

或
maxHeap.size() == minHeap.size() + 1

也就是说：

大顶堆最多比小顶堆多一个元素

五、addNum 的核心逻辑（重点）

来看代码：

cpp 复制代码

void addNum(int num) {
    maxHeap.push(num);
    minHeap.push(maxHeap.top());
    maxHeap.pop();

    if(maxHeap.size() < minHeap.size())
    {
        maxHeap.push(minHeap.top());
        minHeap.pop();
    }
}

这段代码其实非常巧妙，可以拆成三步理解：

第一步：先把新元素丢进大顶堆

复制代码

maxHeap.push(num);

先不管大小，直接放进去。

第二步：把最大值丢到小顶堆

复制代码

minHeap.push(maxHeap.top());
maxHeap.pop();

这一步的作用是：

保证 minHeap 里全是"较大的数"

第三步：重新平衡两个堆

cpp 复制代码

if(maxHeap.size() < minHeap.size())
{
    maxHeap.push(minHeap.top());
    minHeap.pop();
}

如果小顶堆多了，就把最小的那个"较大值"搬回来。

六、为什么这样一定正确？

你可以这样理解整个过程：

每次插入：

先进入"小的那一半"（maxHeap）
再把最大值送去"大的一半"（minHeap）
最后调整数量

这样可以保证：

maxHeap 里永远是较小的一半
minHeap 里永远是较大的一半

而且顺序始终正确。

七、findMedian 就很简单了

cpp 复制代码

double findMedian() {
    if(maxHeap.size() > minHeap.size())
    {
        return maxHeap.top();
    }
    else
    {
        return (maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2.0;
    }
}

两种情况：

1. 奇数个

复制代码

maxHeap 多一个

中位数就是：

复制代码

maxHeap.top()

2. 偶数个

复制代码

两个堆一样多

中位数：

复制代码

(maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2

八、时间复杂度

插入：O(log n)
查询中位数：O(1)

相比排序，效率提升非常明显。

九、常见错误

1. 顺序写反

很多人会写成：

复制代码

minHeap.push(num);

这样会破坏结构。

2. 没有保持大小关系

必须保证：

复制代码

maxHeap.size() >= minHeap.size()

3. 忘记平衡

少了这一步就会错：

复制代码

if(maxHeap.size() < minHeap.size())

十、总结一句话

这道题的本质就是：

用两个堆维护"中位数左右两边"，保证数量平衡

如果你再往上提升，这道题还有进阶玩法：

支持删除（变成滑动窗口中位数）
使用 multiset / 平衡树实现
手写堆优化

这些在面试中也非常常见。