1. 简述
计算极限
MATLAB提供计算极限的limit函数。在其最基本的形式中，limit函数将表达式作为参数，并在独立变量为零时找到表达式的极限。
例如，要计算函数f(x)=(x^3 + 5)/(x^4 + 7)的极限，因为x趋向于零。
syms xlimit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
Trial>> syms x limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7)) ans = 5/7
Shell
limit函数落在符号计算域; 需要使用syms函数来告诉MATLAB正在使用的符号变量。还可以计算函数的极限，因为变量趋向于除零之外的某个数字。要计算 -
可使用带有参数的limit命令。第一个是表达式，第二个是数字 - x表示接近，这里它是a。
例如，要计算函数f(x)=(x-3)/(x-1)的极限，因为x倾向于1。
limit((x - 3)/(x-1),1)
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
ans = NaN
Shell
下面再看另外一个例子，
limit(x^2 + 5, 3)
Shell
执行上面示例代码，得到以下结果 -
ans = 14
Shell
使用Octave计算极限
以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包，尝试执行并比较结果 -
pkg load symbolic symbols x=sym("x");subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
ans = 0.7142857142857142857
Shell
验证极限的基本属性
代数极限定理提供了极限的一些基本属性。这些属性如下 -
下面来考虑两个函数 -
f(x) = (3x + 5)/(x - 3) g(x) = x^2 + 1.
下面计算函数的极限，这两个函数的x趋向于5，并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。
例子
创建脚本文件并在其中键入以下代码 -
syms x f = (3*x + 5)/(x-3);g = x^2 + 1;l1 = limit(f, 4)l2 = limit (g, 4)lAdd = limit(f + g, 4)lSub = limit(f - g, 4)lMult = limit(f*g, 4)lDiv = limit (f/g, 4)
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
l1 = 17 l2 = 17 lAdd = 34 lSub = 0 lMult = 289 lDiv = 1
Shell
使用Octave验证极限的基本属性
以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包，尝试执行并比较结果 -
pkg load symbolic symbols x = sym("x");f = (3*x + 5)/(x-3);g = x^2 + 1;l1=subs(f, x, 4)l2 = subs (g, x, 4)lAdd = subs (f+g, x, 4)lSub = subs (f-g, x, 4)lMult = subs (f*g, x, 4)lDiv = subs (f/g, x, 4)
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
l1 = 17.0 l2 = 17.0 lAdd = 34.0 lSub = 0.0 lMult = 289.0 lDiv = 1.0
Shell
左右边界极限
当函数对变量的某个特定值具有不连续性时，该点不存在极限。 换句话说，当x = a时，函数f(x)的极限具有不连续性，当x的值从左侧接近x时，x的值不等于x从右侧接近的极限值。
对于x <a的值，左极限被定义为x - > a的极限，从左侧即x接近a。 对于x> a的值，右极限被定义为x - > a的极限，从右边，即x接近a。 当左极限和右极限不相等时，极限不存在。
下面来看看一个函数 -
f(x) = (x - 3)/|x - 3|
下面将显示
不存在。MATLAB帮助我们以两种方式说明事实 -
- 通过绘制函数图并显示不连续性。
- 通过计算极限并显示两者都不同。
通过将字符串"left"和"right"作为最后一个参数传递给limit命令来计算左侧和右侧的极限。
例子
创建脚本文件并在其中键入以下代码 -
f = (x - 3)/abs(x-3);ezplot(f,[-1,5])l = limit(f,x,3,'left')r = limit(f,x,3,'right')
MATLAB
执行上面示例代码，得到以下结果 -
显示以下输出结果 -
Trial>> Trial>> f = (x - 3)/abs(x-3); ezplot(f,[-1,5]) l = limit(f,x,3,'left') r = limit(f,x,3,'right') l = -1 r = 1
Shell
MATLAB提供用于计算符号导数的diff命令。 以最简单的形式，将要微分的功能传递给diff命令作为参数。
例如，计算函数的导数的方程式 -
2. 代码
%% 学习目标： 极限
clc;
clear all;
syms x;
f=(3*x^2-1)/(3*x^2-2*x+3);
y=limit(f,x,1) %趋近于1时
%
clc;
clear all;
syms x;
f=sin(sin(x))/x;
y=limit(f,x,0) %趋近于0
%
clc;
clear all;
syms x;
f=(1+3/x)^(4*x);
y=limit(f,x,inf) %趋近于无穷大
%
%右极限
clc;
clear all;
syms x;
f=((x^x)^x);
y=limit(f,x,0,'right')
3. 运行结果
