最著名的平面几何定理可能非勾股定理莫属。有意思的是，我们是从 3 3 3开始认识勾股定理的，勾三股四弦五， 3 2 + 4 2 = 5 2 3^{2}+4^{2}=5^{2} 32+42=52 。三是什么？三在中国文化里具有特殊重要性，"道生一，一生二，二生三，三生万物。"（《道德经·四十三章》）在数学里，勾股定理确实有"三生万物"的地位。
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定理 设 Δ A B C ΔABC ΔABC三边长为 a , b , c a,b,c a,b,c ，如果 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，则
a 2 + b 2 = c 2 a^{2}+b^{2}=c^{2} a2+b2=c2
反之也成立。
讫今为至，关于勾股定理（上述定理的充分性部分）的证明有 400 400 400多种，下面的证明来自欧几里得的《几何原本》。
证法一（《几何原本》第一卷命题47）
设 R E Δ A B C REΔABC REΔABC，其中 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，过三边分别向外作正方形 A B F E ABFE ABFE，正方形 B D H G BDHG BDHG，正方形 C A J I CAJI CAJI，连接 C E ， C F ， B J ， A G CE，CF，BJ，AG CE，CF，BJ，AG，过点 C C C作 C K ⊥ A B CK⊥AB CK⊥AB交 A B AB AB于 L L L，交 E F EF EF于 K K K。
因为 A C ＝ A J AC＝AJ AC＝AJ， ∠ E A C ＝ ∠ B A J ∠EAC＝∠BAJ ∠EAC＝∠BAJ， A E ＝ A B AE＝AB AE＝AB，所以 Δ E A C ≌ Δ B A J ΔEAC≌ΔBAJ ΔEAC≌ΔBAJ；
类似地，可得 Δ F C B ≌ Δ A G B ΔFCB≌ΔAGB ΔFCB≌ΔAGB；
所以 S A E K L = A E ⋅ E K = 2 ⋅ 1 2 ⋅ A E ⋅ E K = 2 S A E C S_{AEKL}=AE\cdot EK=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AE\cdot EK=2S_{AEC} SAEKL=AE⋅EK=2⋅21⋅AE⋅EK=2SAEC ，
同理 S B F K L = 2 S B F C S_{BFKL}=2S_{BFC} SBFKL=2SBFC， S B C H G = 2 S B A G S_{BCHG}=2S_{BAG} SBCHG=2SBAG，
所以
S A E F B = S A E K L + S B F K L = 2 S A E C + 2 S B F C = 2 S A B J + 2 S A B G = S A C I J + S B C H G S_{AEFB}=S_{AEKL}+S_{BFKL} =2S_{AEC}+2S_{BFC} =2S_{ABJ}+2S_{ABG} =S_{ACIJ}+S_{BCHG} SAEFB=SAEKL+SBFKL=2SAEC+2SBFC=2SABJ+2SABG=SACIJ+SBCHG
即 a 2 + b 2 = c 2 a^{2}+b^{2}=c^{2} a2+b2=c2.
证法二（《几何原本》第六卷命题8）
如图4，设 R E Δ A B C REΔABC REΔABC，其中 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，过 C C C作 C D ⊥ A B CD⊥AB CD⊥AB于 D D D。
因为 ∠ A C B ＝ ∠ A D C ＝ 90 ° ∠ACB＝∠ADC＝90° ∠ACB＝∠ADC＝90°， ∠ A ＝ ∠ A ∠A＝∠A ∠A＝∠A，所以 Δ A B C ∽ Δ A C D ΔABC∽ΔACD ΔABC∽ΔACD，所以 b c 1 = c b = a h \frac{b}{c_{1}}=\frac{c}{b}=\frac{a}{h} c1b=bc=ha，得 b 2 = c ⋅ 1 b^{2}=c\cdot_{1} b2=c⋅1 ；
类似地，有 Δ A B C ∽ Δ C B D ΔABC∽ΔCBD ΔABC∽ΔCBD，所以 a c 2 = c a = b h \frac{a}{c_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{b}{h} c2a=ac=hb ，得 a 2 = c ⋅ c 2 a^{2}=c\cdot c_{2} a2=c⋅c2 ；
两式相加，得
a 2 + b 2 = c c 1 + c c 2 = c ( c 1 + c 2 ) = c 2 a^{2}+b^{2}=cc_{1}+cc_{2}=c(c_{1}+c_{2})=c^{2} a2+b2=cc1+cc2=c(c1+c2)=c2
下面是必要性的证明：
如图5，已知在 Δ A B C ΔABC ΔABC中， a 2 + b 2 = c 2 a^{2}+b^{2}=c^{2} a2+b2=c2 ，则 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°.
过 C C C作 C D ⊥ A B CD⊥AB CD⊥AB于 D D D，在 R T Δ C B D RTΔCBD RTΔCBD和 R T Δ A C D RTΔACD RTΔACD中分别应用勾股定理，得
h 2 + c 2 2 = a 2 h^{2}+c_{2}^{2}=a^{2} h2+c22=a2
h 2 + c 1 2 = b 2 h^{2}+c_{1}^{2}=b^{2} h2+c12=b2
两式相加，得
2 h 2 + c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 2h^{2}+c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2} 2h2+c12+c22=a2+b2
而 a 2 + b 2 = c 2 a^{2}+b^{2}=c^{2} a2+b2=c2，所以
2 h 2 + c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 = ( c 1 + c 2 ) 2 2h^{2}+c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}=(c_{1}+c_{2})^{2} 2h2+c12+c22=a2+b2=(c1+c2)2
得 h 2 = c 1 c 2 h^{2}=c_{1}c_{2} h2=c1c2 ，即 h c 1 = c 2 h \frac{h}{c_{1}}=\frac{c_{2}}{h} c1h=hc2，而 ∠ A C D ＝ ∠ C D B ＝ 90 ° ∠ACD＝∠CDB＝90° ∠ACD＝∠CDB＝90°，所以 R T Δ C B D ∽ R T Δ A C D RTΔCBD∽RTΔACD RTΔCBD∽RTΔACD，所以 ∠ A ＝ ∠ B C D ∠A＝∠BCD ∠A＝∠BCD， ∠ B ＝ ∠ A C D ∠B＝∠ACD ∠B＝∠ACD，所以
∠ A C B ＝ ∠ A C D + ∠ B C D ＝ ∠ B + ∠ B C D ＝ ∠ B D C ＝ 90 ° . ∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝∠BDC＝90°. ∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝∠BDC＝90°.
在中学数学里，随时都可能遇到勾股定理。举一例。