Transformation（2D-Model）
Scale(缩放)
x ′ y ′ \] = \[ s 0 0 s \] \[ x y \] (等比例缩放) \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right\]= \\left\[ \\begin{matrix} s \& 0 \\\\ 0 \& s \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right\] \\tag{等比例缩放} \[x′y′\]=\[s00s\]\[xy\](等比例缩放)  \[ x ′ y ′ \] = \[ s x 0 0 s y \] \[ x y \] (x,y不同比例缩放) \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} s_x \& 0 \\\\ 0 \& s_y \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right\] \\tag{x,y不同比例缩放} \[x′y′\]=\[sx00sy\]\[xy\](x,y不同比例缩放) ### Reflection(反转)  \[ x ′ y ′ \] = \[ − 1 0 0 1 \] \[ x y \] (沿y轴对称反转) \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} -1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right\] \\tag{沿y轴对称反转} \[x′y′\]=\[−1001\]\[xy\](沿y轴对称反转) > 沿x轴或原点对称同理 ### Shear(切变) > 如下图，切变的跨度(`a`)和`y`是成**正比例** 的。坐标归一化后，也就是`x`每次加一个`y倍的a`  \[ x ′ y ′ \] = \[ 1 a 0 1 \] \[ x y \] (坐标归一化后的操作) \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} 1 \& a \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right\] \\tag{坐标归一化后的操作} \[x′y′\]=\[10a1\]\[xy\](坐标归一化后的操作) ### Rotate(旋转)  R θ = \[ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ \] R_\\theta =\\left\[ \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta \\\\ sin\\theta \& cos\\theta \\end{matrix} \\right\] Rθ=\[cosθsinθ−sinθcosθ
Homogenous coordinates(齐次坐标)
为什么引入齐次坐标？
区分向量和点，更易于表示仿射变换
仿射变换就是线性的几何变换加上一个平移，包括旋转、缩放、平移、切变。
齐次坐标的意义就是让平移变换和其它线性变换一样，都能表述成一个矩阵相乘的形式！
具体做法：
Add a third coordinate (w-coordinate)
- 2D point = ( x , y , 1 ) T (x,y,1)^T (x,y,1)T
- 2D vector = ( x , y , 0 ) T (x,y,0)^T (x,y,0)T
向量具有平移不变性，只表示方向和大小！
运算过程中 w 分量的值：
- vector + vector = vector 向量+向量结果依旧为向量，w此时仍为0
- point - point = vector 点-点结果为向量，w此时为0
- point + vector = point 点+向量结果为点，w此时为1
- point + point = ?? 点+点 无意义？ ，w此时为2
- 扩充意义：点 + 点 = 两个点的中点
w ! = 0 , [ x y w ] = [ x / w y / w w / w ] = [ x / w y / w 1 ] w != 0, \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ w \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x/w \\ y/w \\ w/w \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x/w \\ y/w \\ 1 \end{matrix} \right] w!=0, xyw = x/wy/ww/w = x/wy/w1
Translation(平移)
translation is NOT linear transform!
平移不是线性变换，线性变换的对象是向量，向量是不存在空间位置的！平移是对点进行操作。
x ′ y ′ w ′ \] = \[ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 \] \[ x y w \] = \[ x + t x y + t y w \] (向量的w为0，点的w为1) \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ w' \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} 1 \& 0 \& t_x \\\\ 0 \& 1 \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ w \\end{matrix} \\right\] = \\left\[ \\begin{matrix} x + t_x \\\\ y + t_y \\\\ w \\end{matrix} \\right\] \\tag{向量的w为0，点的w为1} x′y′w′ = 100010txty1 xyw = x+txy+tyw (向量的w为0，点的w为1) ### 引入齐次坐标后的变换矩阵 **Scale** S ( s x , s y ) = \[ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 \] S(s_x, s_y) =\\left\[ \\begin{matrix} s_x \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& s_y \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] S(sx,sy)= sx000sy0001 **Rotation** R θ = \[ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 \] R_\\theta =\\left\[ \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta \& 0\\\\ sin\\theta \& cos\\theta \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] Rθ= cosθsinθ0−sinθcosθ0001 **Translation** T ( t x , t y ) = \[ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 \] T(t_x, t_y)= \\left\[ \\begin{matrix} 1 \& 0 \& t_x \\\\ 0 \& 1 \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] T(tx,ty)= 100010txty1 ### Other #### 逆变换 执行一个操作，再执行这个操作的逆操作，相当于不变。  #### 变换顺序 根据矩阵的分配率性质，多个操作可以合并成一个矩阵。  变换组合到一个矩阵时，先进行线性变换，再进行平移。 \[ x ′ y ′ 1 \] = \[ a b t x c d t y 0 0 1 \] \[ x y 1 \] \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] = \\left\[ \\begin{matrix} a \& b \& t_x \\\\ c \& d \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] x′y′1 = ac0bd0txty1 xy1 #### 变换的分解 Q：如何围绕给定点进行旋转(非原点)？ A：1.平移到原点 2.旋转 3.反向平移复位  ## Transformation（3D-Model） **Use homogeneous coordinates again：** * 3D point = ( x , y , z , 1 ) T (x,y,z,1)\^T (x,y,z,1)T * 3D vector = ( x , y , z , 0 ) T (x,y,z,0)\^T (x,y,z,0)T > w 分量不为0时的扩充意义： > w ! = 0 , \[ x y z w \] = \[ x / w y / w z / w w / w \] = \[ x / w y / w z / w 1 \] w != 0, \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{matrix} \\right\]=\\left\[ \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ z/w \\\\ w/w \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ z/w \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] w!=0, xyzw = x/wy/wz/ww/w = x/wy/wz/w1 **Use 4x4 matrices for affine(仿射) transformations** \[ x ′ y ′ z ′ 1 \] = \[ a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 \] \[ x y z 1 \] \\left\[ \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ z' \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} a \& b \& c \& t_x \\\\ d \& e \& f \& t_y \\\\ g \& h \& i \& t_z \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] x′y′z′1 = adg0beh0cfi0txtytz1 xyz1 > 先进行线性变换，再进行平移。 **Rotation around x,y or z-axis**沿着标准轴旋转  R x ( α ) = \[ 1 0 0 0 0 c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 \] − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − R y ( α ) = \[ c o s α 0 s i n α 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s α 0 0 0 0 1 \] − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − R z ( α ) = \[ c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 \] R_x(\\alpha) =\\left\[ \\begin{matrix} 1 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& cos\\alpha \& -sin\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& sin\\alpha \& cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\] \\\\ \\\\ ------------------------- \\\\ R_y(\\alpha) =\\left\[ \\begin{matrix} cos\\alpha \& 0 \& sin\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ -sin\\alpha \& 0 \& cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\] \\\\ \\\\ ------------------------- \\\\ R_z(\\alpha) =\\left\[ \\begin{matrix} cos\\alpha \& -sin\\alpha \& 0 \& 0 \\\\ sin\\alpha \& cos\\alpha \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\] Rx(α)= 10000cosαsinα00−sinαcosα00001 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Ry(α)= cosα0−sinα00100sinα0cosα00001 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Rz(α)= cosαsinα00−sinαcosα0000100001 **Compose any 3D rotation from Rx,Ry, Rz**沿着任意轴旋转  如图，α β γ分别对应roll pitch yaw（欧拉角）。 * Roll:翻滚，我们以圣地安列斯里最恶心的开飞机为例，Roll将你的飞机机头朝向不变，进行机身的转动，机翼从水平到竖直这种。 * Pitch:是将你的飞机机头向上抬或者向下降，范围在-90 \~ 90 . * Yaw:是水平方向上转动机头的朝向，范围在0\~360。 图形学中有一个办法，可以把任意的一个旋转分解再X，Y，Z三轴上，分别做旋转从而得到了一个公式，也就是**罗德里德斯旋转公式：**  罗德里德斯旋转公式给了我们一个旋转矩阵，它定义了一个旋转轴 **n** 和一个旋转角度 α。 我们默认旋转轴 n 是过原点的，也就是起点在原点上，方向是n这个方向，旋转角度为α。 如果想要沿着任意轴旋转，但该轴起点不是原点，则需要先将所有的物体都进行平移是的旋转轴的起点为原点，然后进行旋转，最后再平移回去。 矩阵N是两个向量叉乘写成矩阵形式。 ## Transformation（View/Camera） > 前置概念Ⅰ：**旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵** > R θ = \[ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ \] − − − − − − − − − − − − − R − θ = \[ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ \] ★ R − θ = R θ − 1 = R θ T R_\\theta = \\left\[ \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta\\\\ sin\\theta \& cos\\theta \\\\ \\end{matrix} \\right\] \\\\ \\\\ ------------- \\\\ R_{-\\theta} = \\left\[ \\begin{matrix} cos\\theta \& sin\\theta\\\\ -sin\\theta \& cos\\theta \\\\ \\end{matrix} \\right\] \\\\ \\\\ ★ R_{-\\theta}=R_{\\theta}\^{-1}=R_{\\theta}\^T Rθ=\[cosθsinθ−sinθcosθ\]−−−−−−−−−−−−−R−θ=\[cosθ−sinθsinθcosθ\]★R−θ=Rθ−1=RθT > > 如上公式，从矩阵中我们可以发现 R − θ = R θ T R_{-\\theta}=R_{\\theta}\^T R−θ=RθT > > 而在图形学中我们知道 R θ R_{\\theta} Rθ 和 R − θ R_{-\\theta} R−θ 是一个互逆的操作 > > 因此 R − θ = R θ − 1 = R θ T R_{-\\theta}=R_{\\theta}\^{-1}=R_{\\theta}\^T R−θ=Rθ−1=RθT > > 因此我们可以得出 **旋转矩阵的逆等于它的转置矩阵** 这一定义，之后的内容我们会用到这个性质。 > > 在数学上，一个矩阵的逆等于它的转置矩阵我们称其为**正交矩阵**。 > 前置概念Ⅱ：**变换过程** > > 我们知道我们需要将三维空间中摄像机看到的场景最终变为一张2D的图片给显示在screen上，我们来了解具体发生了什么变换。具体是去了解如何从3D 变为 2D。 > > 其中的过程类似于拍照片： > > 1. **Model Transformation: 让人们集合在一起并摆好姿势（设置好场景）** > 2. **View Transformation : 找到一个拍摄的角度（设置好camera位置和看的方向）** > 3. **Projection Transformation: 拍照（将camera看向的3D内容变为2D照片）** > > 我们主要对第二步进行讲解。 首先需要定义好*Camera*： * 设置好相机的位置 *Position* * 设置好相机看向的方向，即 *look-at / gaze direction* * 我们除了相机指向的方向我们还要设置一个 *up-direction*，因为我们需要从不同角度看向场景，就像你拿着手机倾斜45度或者反着拍，最后的照片是不一样的。  至此我们通过一个点(向量)，两个(单位)向量将相机给固定下来了 我们知道，当**相机和物体进行相对运动**时，不论怎么移动二者，我们看到的结果是一样的。  因此我们将相机从原本位置移动到原点位置，使得其*Look-at direction* 看向 *-z* 方向，*up-direction* 是 *y* 正半轴。相机移动后，**物体/场景跟着相机进行相同的移动，这样虽然进行了移动，但最终看到的结果是相同的**。 这样做是因为可以简化很多操作，相机在(0,0,0)位置有很多的好处。  假设我们现在有一个相机，在 *e* 点上，*gaze direction* 是向量 *g* ，*up direction* 是 *t* ，我们要把点 *e* 给变成原点，向量 *g* 在 *-z* 轴上，*t* 在 *y* 正半轴上。 其基本思想是： * 进行平移，将`e`点移到原点。 * 旋转`g`到`-z`方向上。 * 旋转`t`到`+y`方向上。 * 旋转 `g` 叉乘 `t` 得到的向量 到`+x`方向上。  由于我们说过一般是先进行线性变换再进行平移的，**但在这里是先平移再线性变换**，所以我们将T写在最右边。 平移矩阵很好写，难的是如何将`g,t,g×t`旋转到`x,y,-z`上。这时可以反过来想，我们知道`g,t,g×t`是如何用`(x,y,z)`表示的，我们只需要求出`x,y,-z`旋转到`g,t,g×t`的旋转矩阵，再加上**旋转矩阵的逆矩阵 是这个旋转矩阵的转置矩阵** 这条性质，就可以巧妙的求出`g,t,g×t`给旋转到`x,y,-z`上的旋转矩阵。 **View Transform主要做两步**： * 移动camera，使其位于*world space*的坐标原点，同样的将其余场景也进行相同的变换使其到应到的位置。 * 旋转camera，使得摄像机坐标系与世界坐标系重合。 ## Transformation（Projection） > Orthographic projection (正交投影） ：多用于工程制图 > > Perspective projection（透视投影）：符合人眼的成像，会产生近大远小的效果，看起来平行线不会平行，延长的话会相交。  **正交投影和透视投影本质的区别就是：是否有近大远小的效果**  ### Orthographic projection  **正交投影的思想：** Ⅰ. 我们设置camera于原点，看向-Z方向，向上是Y轴 Ⅱ. 然后我们舍弃Z轴也就是让所有物体都Z都等于0，从而我们实现了所有物体只在X轴和Y轴上 Ⅲ. 将其挤压到 \[ − 1 , 1 \] ∗ \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \* \[-1, 1\] \[−1,1\]∗\[−1,1\]这么一个正方形内.  **图形学中的实际操作：** 我们定义一个立方体，left,right bottom,top far,near（但是注意我们是看向-Z方向的，far的Z轴值小，near的值大） 然后将其的中心平移到原点出，最后将其给拉成一个 \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1, 1\]\^3 \[−1,1\]3的正则立方体。 **具体的操作矩阵：** M o r t h o = \[ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 \] \[ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 \] M_{ortho} =\\left\[ \\begin{matrix} {2 \\over {r-l}} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& {2 \\over {t-b}} \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& {2 \\over {n-f}} \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] \\left\[ \\begin{matrix} 1 \& 0 \& 0 \& -{{r+l} \\over 2} \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -{{t+b} \\over 2} \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& -{{n+f} \\over 2} \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right\] Mortho= r−l20000t−b20000n−f200001 100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1 具体来说第一个右侧矩阵是反向平移操作，将立方体的中心点平移到原点，类似二分找中点。第二个左侧矩阵是缩放到 \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1, 1\]\^3 \[−1,1\]3内，因为边长是2，所以分子设置为2，相当于等比例交叉相乘。 ### Perspective projection  **透视投影的思想：** Ⅰ. 将frustum给挤压成一个长方体，也就是将远平面压的和近平面一个大小。 Ⅱ. 做一次正交投影，将长方体的中心移到原点并将其压缩成 \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1, 1\]\^3 \[−1,1\]3的正方体。 **注意：** Ⅰ. 在挤压的过程中，近平面永远不会发生变化。 Ⅱ. 在挤压过程中，远平面上的Z值不会发生变化。 Ⅲ. 挤压过程中，远平面的中心点也不会发生变化。 > 关于Z值会发生改变的情况，可以想象一个场景。在你的面前是一条笔直的上山铁轨，随着距离越远，枕木之间的压缩距离应该越近。 我们知道如何做正交投影，那么接下来来讨论**挤压这个frustum的矩阵**如何求？   > 首先上图鼠标所在的右侧虚线并不是特指远平面，而是近平面到远平面之间的任意面(包含远平面)。 > > 那么此时图中出现一组相似三角形，根据边的比例关系和已知的近平面Z值以及待挤压点的信息，可以得到挤压后点的 x ′ , y ′ x',y' x′,y′ **在齐次坐标中的表示形式：** \[ x y z 1 \] → \[ n x / z n y / z u n k n o w n 1 \] = = \[ n x n y s t i l l u n k n o w n z \] \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\1\\end{matrix} \\right\] →\\left\[ \\begin{matrix} nx/z \\\\ ny/z \\\\ unknown \\\\1 \\end{matrix} \\right\] ==\\left\[ \\begin{matrix} nx \\\\ ny \\\\ still \\ \\ \\ unknown \\\\ z \\end{matrix} \\right\] xyz1 → nx/zny/zunknown1 == nxnystill unknownz **挤压矩阵：** M p e r s p → o r t h o \[ x y z 1 \] = \[ n x n y u n k n o w n z \] M_{persp→ortho} \\left\[ \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1 \\end{matrix} \\right\] =\\left\[ \\begin{matrix} nx \\\\ ny \\\\ unknown \\\\ z \\end{matrix} \\right\] Mpersp→ortho xyz1 = nxnyunknownz M p e r s p → o r t h o = \[ n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 \] M_{persp→ortho}= \\left\[ \\begin{matrix} n \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& n \& 0 \& 0 \\\\ ? \& ? \& ? \& ? \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\end{matrix} \\right\] Mpersp→ortho= n0?00n?000?100?0 从而我们求出了除第三行以外的内容，接下来我们求第三行，但我们需要记住两点： * 近平面上的任意一点都不会因变换而改变。   > x、y依旧是变量，而替换之后的n为常量代表的是近平面的距离。总的来说就是用上述性质得到了一组`unknown`为 n 2 n\^2 n2的特例。 * 远平面上的任意一点的Z值都不会因变化而改变，并且中心点的X，Y也不会发生改变。  > 同样的，由于远平面任意一点的Z值不发生改变，**取远平面的中心点**（其被挤压后X和Y仍为0，且Z值不变），其坐标为（0,0,f,1） 最终推导出A，B的值，从而得到挤压矩阵 M p e r s p → o r t h o M_{persp→ortho} Mpersp→ortho。  M p e r s p → o r t h o = \[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 \] M_{persp→ortho}= \\left\[ \\begin{matrix} n \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& n \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& n+f \& -nf \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\end{matrix} \\right\] Mpersp→ortho= n0000n0000n+f100−nf0 投影透视结论： M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o M_{persp}=M_{ortho}M_{persp→ortho} Mpersp=MorthoMpersp→ortho