Transformation（2D-Model）
Scale(缩放)
x ′ y ′ = s 0 0 s x y (等比例缩放) \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right= \left \\begin{matrix} s \& 0 \\\\ 0 \& s \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right \tag{等比例缩放} x′y′=s00sxy(等比例缩放)
x ′ y ′ = s x 0 0 s y x y (x,y不同比例缩放) \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} s_x \& 0 \\\\ 0 \& s_y \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right \tag{x,y不同比例缩放} x′y′=sx00syxy(x,y不同比例缩放)
Reflection(反转)
x ′ y ′ = − 1 0 0 1 x y (沿y轴对称反转) \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} -1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right \tag{沿y轴对称反转} x′y′=−1001xy(沿y轴对称反转)
沿x轴或原点对称同理
Shear(切变)
如下图，切变的跨度(
a)和y是成正比例 的。坐标归一化后，也就是x每次加一个y倍的a
x ′ y ′ = 1 a 0 1 x y (坐标归一化后的操作) \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} 1 \& a \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\end{matrix} \\right \tag{坐标归一化后的操作} x′y′=10a1xy(坐标归一化后的操作)
Rotate(旋转)
R θ = c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ R_\theta =\left \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta \\\\ sin\\theta \& cos\\theta \\end{matrix} \\right Rθ=cosθsinθ−sinθcosθ
Homogenous coordinates(齐次坐标)
为什么引入齐次坐标？
区分向量和点，更易于表示仿射变换
仿射变换就是线性的几何变换加上一个平移，包括旋转、缩放、平移、切变。
齐次坐标的意义就是让平移变换和其它线性变换一样，都能表述成一个矩阵相乘的形式！
具体做法：
Add a third coordinate (w-coordinate)
- 2D point = ( x , y , 1 ) T (x,y,1)^T (x,y,1)T
- 2D vector = ( x , y , 0 ) T (x,y,0)^T (x,y,0)T
向量具有平移不变性，只表示方向和大小！
运算过程中 w 分量的值：
- vector + vector = vector 向量+向量结果依旧为向量，w此时仍为0
- point - point = vector 点-点结果为向量，w此时为0
- point + vector = point 点+向量结果为点，w此时为1
- point + point = ?? 点+点 无意义？ ，w此时为2
- 扩充意义：点 + 点 = 两个点的中点
w ! = 0 , x y w = x / w y / w w / w = x / w y / w 1 w != 0, \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ w \\end{matrix} \\right = \left \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ w/w \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ 1 \\end{matrix} \\right w!=0, xyw = x/wy/ww/w = x/wy/w1
Translation(平移)
translation is NOT linear transform!
平移不是线性变换，线性变换的对象是向量，向量是不存在空间位置的！平移是对点进行操作。
x ′ y ′ w ′ = 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 x y w = x + t x y + t y w (向量的w为0，点的w为1) \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ w' \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} 1 \& 0 \& t_x \\\\ 0 \& 1 \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ w \\end{matrix} \\right = \left \\begin{matrix} x + t_x \\\\ y + t_y \\\\ w \\end{matrix} \\right \tag{向量的w为0，点的w为1} x′y′w′ = 100010txty1 xyw = x+txy+tyw (向量的w为0，点的w为1)
引入齐次坐标后的变换矩阵
Scale
S ( s x , s y ) = s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 S(s_x, s_y) =\left \\begin{matrix} s_x \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& s_y \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right S(sx,sy)= sx000sy0001
Rotation
R θ = c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 R_\theta =\left \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta \& 0\\\\ sin\\theta \& cos\\theta \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right Rθ= cosθsinθ0−sinθcosθ0001
Translation
T ( t x , t y ) = 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 T(t_x, t_y)= \left \\begin{matrix} 1 \& 0 \& t_x \\\\ 0 \& 1 \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right T(tx,ty)= 100010txty1
Other
逆变换
执行一个操作，再执行这个操作的逆操作，相当于不变。
变换顺序
根据矩阵的分配率性质，多个操作可以合并成一个矩阵。
变换组合到一个矩阵时，先进行线性变换，再进行平移。
x ′ y ′ 1 = a b t x c d t y 0 0 1 x y 1 \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ 1 \\end{matrix} \\right = \left \\begin{matrix} a \& b \& t_x \\\\ c \& d \& t_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ 1 \\end{matrix} \\right x′y′1 = ac0bd0txty1 xy1
变换的分解
Q：如何围绕给定点进行旋转(非原点)？
A：1.平移到原点 2.旋转 3.反向平移复位
Transformation（3D-Model）
Use homogeneous coordinates again：
- 3D point = ( x , y , z , 1 ) T (x,y,z,1)^T (x,y,z,1)T
- 3D vector = ( x , y , z , 0 ) T (x,y,z,0)^T (x,y,z,0)T
w 分量不为0时的扩充意义：
w ! = 0 , x y z w = x / w y / w z / w w / w = x / w y / w z / w 1 w != 0, \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ w \\end{matrix} \\right=\left \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ z/w \\\\ w/w \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} x/w \\\\ y/w \\\\ z/w \\\\ 1 \\end{matrix} \\right w!=0, xyzw = x/wy/wz/ww/w = x/wy/wz/w1
Use 4x4 matrices for affine(仿射) transformations
x ′ y ′ z ′ 1 = a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 x y z 1 \left \\begin{matrix} x' \\\\ y' \\\\ z' \\\\ 1 \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} a \& b \& c \& t_x \\\\ d \& e \& f \& t_y \\\\ g \& h \& i \& t_z \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1 \\end{matrix} \\right x′y′z′1 = adg0beh0cfi0txtytz1 xyz1
先进行线性变换，再进行平移。
Rotation around x,y or z-axis沿着标准轴旋转
R x ( α ) = 1 0 0 0 0 c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − R y ( α ) = c o s α 0 s i n α 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s α 0 0 0 0 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − R z ( α ) = c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R_x(\alpha) =\left \\begin{matrix} 1 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& cos\\alpha \& -sin\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& sin\\alpha \& cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right \\ \\ ------------------------- \\ R_y(\alpha) =\left \\begin{matrix} cos\\alpha \& 0 \& sin\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ -sin\\alpha \& 0 \& cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right \\ \\ ------------------------- \\ R_z(\alpha) =\left \\begin{matrix} cos\\alpha \& -sin\\alpha \& 0 \& 0 \\\\ sin\\alpha \& cos\\alpha \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix} \\right Rx(α)= 10000cosαsinα00−sinαcosα00001 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Ry(α)= cosα0−sinα00100sinα0cosα00001 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Rz(α)= cosαsinα00−sinαcosα0000100001
Compose any 3D rotation from Rx,Ry, Rz沿着任意轴旋转
如图，α β γ分别对应roll pitch yaw（欧拉角）。
- Roll:翻滚，我们以圣地安列斯里最恶心的开飞机为例，Roll将你的飞机机头朝向不变，进行机身的转动，机翼从水平到竖直这种。
- Pitch:是将你的飞机机头向上抬或者向下降，范围在-90 ~ 90 .
- Yaw:是水平方向上转动机头的朝向，范围在0~360。
图形学中有一个办法，可以把任意的一个旋转分解再X，Y，Z三轴上，分别做旋转从而得到了一个公式，也就是罗德里德斯旋转公式：
罗德里德斯旋转公式给了我们一个旋转矩阵，它定义了一个旋转轴 n 和一个旋转角度 α。
我们默认旋转轴 n 是过原点的，也就是起点在原点上，方向是n这个方向，旋转角度为α。
如果想要沿着任意轴旋转，但该轴起点不是原点，则需要先将所有的物体都进行平移是的旋转轴的起点为原点，然后进行旋转，最后再平移回去。
矩阵N是两个向量叉乘写成矩阵形式。
Transformation（View/Camera）
前置概念Ⅰ：旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵
R θ = c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ − − − − − − − − − − − − − R − θ = c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ★ R − θ = R θ − 1 = R θ T R_\theta = \left \\begin{matrix} cos\\theta \& -sin\\theta\\\\ sin\\theta \& cos\\theta \\\\ \\end{matrix} \\right \\ \\ ------------- \\ R_{-\theta} = \left \\begin{matrix} cos\\theta \& sin\\theta\\\\ -sin\\theta \& cos\\theta \\\\ \\end{matrix} \\right \\ \\ ★ R_{-\theta}=R_{\theta}^{-1}=R_{\theta}^T Rθ=cosθsinθ−sinθcosθ−−−−−−−−−−−−−R−θ=cosθ−sinθsinθcosθ★R−θ=Rθ−1=RθT如上公式，从矩阵中我们可以发现 R − θ = R θ T R_{-\theta}=R_{\theta}^T R−θ=RθT
而在图形学中我们知道 R θ R_{\theta} Rθ 和 R − θ R_{-\theta} R−θ 是一个互逆的操作
因此 R − θ = R θ − 1 = R θ T R_{-\theta}=R_{\theta}^{-1}=R_{\theta}^T R−θ=Rθ−1=RθT
因此我们可以得出 旋转矩阵的逆等于它的转置矩阵 这一定义，之后的内容我们会用到这个性质。
在数学上，一个矩阵的逆等于它的转置矩阵我们称其为正交矩阵。
前置概念Ⅱ：变换过程我们知道我们需要将三维空间中摄像机看到的场景最终变为一张2D的图片给显示在screen上，我们来了解具体发生了什么变换。具体是去了解如何从3D 变为 2D。
其中的过程类似于拍照片：
- Model Transformation: 让人们集合在一起并摆好姿势（设置好场景）
- View Transformation : 找到一个拍摄的角度（设置好camera位置和看的方向）
- Projection Transformation: 拍照（将camera看向的3D内容变为2D照片）
我们主要对第二步进行讲解。
首先需要定义好Camera：
- 设置好相机的位置 Position
- 设置好相机看向的方向，即 look-at / gaze direction
- 我们除了相机指向的方向我们还要设置一个 up-direction，因为我们需要从不同角度看向场景，就像你拿着手机倾斜45度或者反着拍，最后的照片是不一样的。
至此我们通过一个点(向量)，两个(单位)向量将相机给固定下来了
我们知道，当相机和物体进行相对运动时，不论怎么移动二者，我们看到的结果是一样的。
因此我们将相机从原本位置移动到原点位置，使得其Look-at direction 看向 -z 方向，up-direction 是 y 正半轴。相机移动后，物体/场景跟着相机进行相同的移动，这样虽然进行了移动，但最终看到的结果是相同的。
这样做是因为可以简化很多操作，相机在(0,0,0)位置有很多的好处。
假设我们现在有一个相机，在 e 点上，gaze direction 是向量 g ，up direction 是 t ，我们要把点 e 给变成原点，向量 g 在 -z 轴上，t 在 y 正半轴上。
其基本思想是：
-
进行平移，将
e点移到原点。 -
旋转
g到-z方向上。 -
旋转
t到+y方向上。 -
旋转
g叉乘t得到的向量 到+x方向上。
由于我们说过一般是先进行线性变换再进行平移的，但在这里是先平移再线性变换，所以我们将T写在最右边。
平移矩阵很好写，难的是如何将g,t,g×t旋转到x,y,-z上。这时可以反过来想，我们知道g,t,g×t是如何用(x,y,z)表示的，我们只需要求出x,y,-z旋转到g,t,g×t的旋转矩阵，再加上旋转矩阵的逆矩阵 是这个旋转矩阵的转置矩阵 这条性质，就可以巧妙的求出g,t,g×t给旋转到x,y,-z上的旋转矩阵。
View Transform主要做两步：
- 移动camera，使其位于world space的坐标原点，同样的将其余场景也进行相同的变换使其到应到的位置。
- 旋转camera，使得摄像机坐标系与世界坐标系重合。
Transformation（Projection）
Orthographic projection (正交投影） ：多用于工程制图
Perspective projection（透视投影）：符合人眼的成像，会产生近大远小的效果，看起来平行线不会平行，延长的话会相交。
正交投影和透视投影本质的区别就是：是否有近大远小的效果
Orthographic projection
正交投影的思想：
Ⅰ. 我们设置camera于原点，看向-Z方向，向上是Y轴
Ⅱ. 然后我们舍弃Z轴也就是让所有物体都Z都等于0，从而我们实现了所有物体只在X轴和Y轴上
Ⅲ. 将其挤压到 − 1 , 1 ∗ − 1 , 1 -1, 1 * -1, 1 −1,1∗−1,1这么一个正方形内.
图形学中的实际操作：
我们定义一个立方体，left,right bottom,top far,near（但是注意我们是看向-Z方向的，far的Z轴值小，near的值大）
然后将其的中心平移到原点出，最后将其给拉成一个 − 1 , 1 3 -1, 1^3 −1,13的正则立方体。
具体的操作矩阵：
M o r t h o = 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 M_{ortho} =\left \\begin{matrix} {2 \\over {r-l}} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& {2 \\over {t-b}} \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& {2 \\over {n-f}} \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} 1 \& 0 \& 0 \& -{{r+l} \\over 2} \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -{{t+b} \\over 2} \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& -{{n+f} \\over 2} \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{matrix} \\right Mortho= r−l20000t−b20000n−f200001 100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1
具体来说第一个右侧矩阵是反向平移操作，将立方体的中心点平移到原点，类似二分找中点。第二个左侧矩阵是缩放到 − 1 , 1 3 -1, 1^3 −1,13内，因为边长是2，所以分子设置为2，相当于等比例交叉相乘。
Perspective projection
透视投影的思想：
Ⅰ. 将frustum给挤压成一个长方体，也就是将远平面压的和近平面一个大小。
Ⅱ. 做一次正交投影，将长方体的中心移到原点并将其压缩成 − 1 , 1 3 -1, 1^3 −1,13的正方体。
注意：
Ⅰ. 在挤压的过程中，近平面永远不会发生变化。
Ⅱ. 在挤压过程中，远平面上的Z值不会发生变化。
Ⅲ. 挤压过程中，远平面的中心点也不会发生变化。
关于Z值会发生改变的情况，可以想象一个场景。在你的面前是一条笔直的上山铁轨，随着距离越远，枕木之间的压缩距离应该越近。
我们知道如何做正交投影，那么接下来来讨论挤压这个frustum的矩阵如何求？
首先上图鼠标所在的右侧虚线并不是特指远平面，而是近平面到远平面之间的任意面(包含远平面)。
那么此时图中出现一组相似三角形，根据边的比例关系和已知的近平面Z值以及待挤压点的信息，可以得到挤压后点的 x ′ , y ′ x',y' x′,y′
在齐次坐标中的表示形式：
x y z 1 → n x / z n y / z u n k n o w n 1 = = n x n y s t i l l u n k n o w n z \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\1\\end{matrix} \\right →\left \\begin{matrix} nx/z \\\\ ny/z \\\\ unknown \\\\1 \\end{matrix} \\right ==\left \\begin{matrix} nx \\\\ ny \\\\ still \\ \\ \\ unknown \\\\ z \\end{matrix} \\right xyz1 → nx/zny/zunknown1 == nxnystill unknownz
挤压矩阵：
M p e r s p → o r t h o x y z 1 = n x n y u n k n o w n z M_{persp→ortho} \left \\begin{matrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1 \\end{matrix} \\right =\left \\begin{matrix} nx \\\\ ny \\\\ unknown \\\\ z \\end{matrix} \\right Mpersp→ortho xyz1 = nxnyunknownz
M p e r s p → o r t h o = n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 M_{persp→ortho}= \left \\begin{matrix} n \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& n \& 0 \& 0 \\\\ ? \& ? \& ? \& ? \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\end{matrix} \\right Mpersp→ortho= n0?00n?000?100?0
从而我们求出了除第三行以外的内容，接下来我们求第三行，但我们需要记住两点：
- 近平面上的任意一点都不会因变换而改变。
x、y依旧是变量，而替换之后的n为常量代表的是近平面的距离。总的来说就是用上述性质得到了一组
unknown为 n 2 n^2 n2的特例。
- 远平面上的任意一点的Z值都不会因变化而改变，并且中心点的X，Y也不会发生改变。
同样的，由于远平面任意一点的Z值不发生改变，取远平面的中心点（其被挤压后X和Y仍为0，且Z值不变），其坐标为（0,0,f,1）
最终推导出A，B的值，从而得到挤压矩阵 M p e r s p → o r t h o M_{persp→ortho} Mpersp→ortho。
M p e r s p → o r t h o = n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 M_{persp→ortho}= \left \\begin{matrix} n \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& n \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& n+f \& -nf \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\end{matrix} \\right Mpersp→ortho= n0000n0000n+f100−nf0
投影透视结论： M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o M_{persp}=M_{ortho}M_{persp→ortho} Mpersp=MorthoMpersp→ortho