本文将讲解BFS，Dijstra，A*，动态规划的算法原理，不正之处望读者指正，希望有兴趣的读者能在评论区提出一些这些算法的面试考点，共同学习，一起进步
0 图论基础
图有三种：无向图、有向图、带权重的图
无向图
有向图
带权重的图
1 BFS
广度优先搜索算法
利用队列queue数据结构实现：先进先出
算法流程（伪代码）：
cpp
BFS(G, start, goal):
let Q be queue;
Q.push(start);
mark start as visited;
while (!Q.empty())
{
v = Q.front();
Q.pop();
if (v is the goal) return v;
for all neighbours n of v in G
Q.push(n);
n->parent = v;
mark n as visited;
}BFS总结：
（1）相同探索所有的方向
（2）如果所有边权重为1，那么用BFS搜索出来的路径是cost最优的
（3）在不同的场景中，不能保证所有的边权重为1，对于这些场景，BFS受限
2 Dijstra
核心思想：
（1）相比BFS，Dijstra维护一个新变量g(n)，g(n)表示从起始节点到当前节点的累积成本
（2）从openset(Min-priority queue)中访问累积成本g最低的节点
算法流程（伪代码）：
cpp
Dijstra(G, start, goal):
let open_list be priority_queue;
open_list.push(start, 0);
g[start] = 0;
while (!open_list.empty())
{
current = open_list.pop();
mark current as visited;
if (current is the goal) return current;
for (all unvisited neightbours next of current in G)
{
next_cost = g[current] + cost(current, next);
if (next is not in open_list)
open_list.push(next, next_cost);
else {
if (g[next] > next_cost)
g[next] = next_cost;
}
}
}优点：
（1）Dijstra算法能找到从起始节点到图上所有其他节点的最短路径
（2）Dijstra算法满足最优性
缺点：每次都会从open_list寻找代价最少的节点，但是并不知道终点在哪，如果用这个算法做图中特定两个点的最短路径，是比较低效的
3 A*算法
A*算法手撕版本见手撕A算法（详解A算法）
核心思想：
（1）相比Dijstra，A*将目标点的成本估计为启发式信息以提高效率
（2）启发式函数h(n)：表示从节点n到目标的估计成本
（3）评估每个节点的成本函数：f(n)=g(n)+h(n)
（4）从open_list选择f-score最低的节点，而不是Dijstra算法中的g-score
算法流程（伪代码）：
cpp
Astar(G, start, goal):
let open_list be priority_queue;
g[start] = 0;
f[start] = g[start] + h[start];
open_list.push(start, f[start]);
while (!open_list.empty())
{
current = open_list.pop();
mark current as visited;
if (current is the goal) return current;
for all unvisited neighbours next of current in G
next_cost = g[current] + cost(current, next);
if (next is not in open_list)
open_list.push(next, next_cost + h[next]);
else
{
if (g[next] > next_cost) {
g[next] = next_cost;
f[next] = next_cost + h[next];
}
}
}启发式函数设计
在路径搜索过程中，没有唯一启发函数设计原则，需要根据特定的任务来设计，如果最优性和距离相关，则可以计算节点之间的直线距离来估计
三种常用的距离：
起点： ( p 1 , p 2 ) (p_1, p_2) (p1,p2) 终点： ( q 1 , q 2 ) (q_1, q_2) (q1,q2)
（1）Euclidian distance
d ( p , q ) = ( q 1 − p 1 ) 2 + ( q 2 − p 2 ) 2 d(p,q)=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2} d(p,q)=(q1−p1)2+(q2−p2)2
（2）Manhattan distance
d ( p , q ) = ∣ q 1 − p 1 ∣ + ∣ q 2 − p 2 ∣ d(p,q)=|q_1 - p_1|+|q_2 - p_2| d(p,q)=∣q1−p1∣+∣q2−p2∣
（3）Great circle distance
△ σ = a r c c o s ( s i n ϕ 1 s i n ϕ 2 + c o s ϕ 1 c o s ϕ 2 c o s ( △ λ ) ) \bigtriangleup \sigma =arccos(sin\phi _1sin\phi_2+cos\phi_1cos\phi_2cos(\bigtriangleup\lambda )) △σ=arccos(sinϕ1sinϕ2+cosϕ1cosϕ2cos(△λ))
d = r △ σ d = r\bigtriangleup \sigma d=r△σ
最优性
启发式函数 h ( n ) < c o s t ( n , g o a l ) h(n)<cost(n,goal) h(n)<cost(n,goal)
只要启发式函数提供了小于实际成本的估计，A*将始终找到最优路径，并且通常比Dijstra快
实际上A->B->D是最短路径
因为B的启发式函数高估了对目标的成本
这种高估导致搜索算法相信节点C总成本低于节点B，使得节点C在节点B之前访问，导致结果不是最优路径
在gridmap中如何设计启发式函数
使用8连接，曼哈顿距离启发式高估了成本
欧几里得距离总是可以接受
A*算法的精度和效率
（1） h ( n ) = 0 h(n)=0 h(n)=0：A退化为Dijstra
（2） h ( n ) < c o s t ( n , g o a l ) h(n)<cost(n,goal) h(n)<cost(n,goal)：A 满足最优性，效率比Dijstra更高（3） h ( n ) = c o s t ( n , g o a l ) h(n)=cost(n,goal) h(n)=cost(n,goal)：A满足最优性，并且有最高的效率
（4） h ( n ) > c o s t ( n , g o a l ) h(n)>cost(n,goal) h(n)>cost(n,goal)：A不满足最优性，高估实际成本
BFS、Dijstra、A*总结：
| BFS | Dijstra | A* |
|---|---|---|
| （1）BFS算法会朝着周围等价扩展 | （1）相比BFS，Dijstra倾向于累积成本最小化，不是平等地搜索所有可能的路径，能在加权图中满足最优性 | （1）A*是Dijstra的修改，添加了启发式函数h(n)提高搜索效率 |
| （2）如果每条边权重为1，BFS搜索出来的path也是最优解 | （2）如果每条边权重为1，BFS=Dijstra | （3）启发式函数的设计会影响效率和准确性 |
4 动态规划
- 定义：
一种计算机编程方式，首先把算法问题分解为子问题，求解这些子问题，并把这些结果保存下来，然后优化子问题找到整个问题的最优解
- 动态规划的性质：
（1）最优子结构
面对一个大问题可以分解为一系列子问题。如果能找到每个小问题的最优解，并且能够把小问题拼成大的问题。这种问题就叫最优子结构
（2）重复的子问题
动态规划不会重新计算重复的子问题，会事先保存结果
- 计算方法
（1）前向法
（2）逆向法
