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[2.5 二叉树的存储结构](#2.5 二叉树的存储结构)
[2.51 顺序存储:](#2.51 顺序存储:)
[2.5.2 链式存储:](#2.5.2 链式存储:)
一、树概念及结构(了解)
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它
叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继,因此,树是递归定义的。
-
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如下图:A的为6
-
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
-
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
-
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B 的父节点
-
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节 点
-
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
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树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
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节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
-
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
关于树的高度,还有一种看法,就是把高度从0开始看,此时树的高度为3。
-
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
-
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
-
森林:由m(m>0)棵互不相交的多颗树的集合称为森林;(数据结构中的学习并查集本质就是 一个森林)
1.2树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,
如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子
兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
另一种方式:顺序表存孩子的指针(不推荐使用)
struct TreeNode
{
int data;
vector<struct TreeNode*> childs;
}
还有一种表示方式,双亲表示法:
双亲表示法采用顺序表(数组)存储普通树,其实现的核心思想是:顺序存储各个节点的同时,给各节点附加一个记录其父节点位置的变量
#define MAX_SIZE 100 // 宏定义树中结点的最大数量
typedef struct Snode{
char data;
int parent;
} PTNode;
typedef struct{
PTNode tnode[MAX_SIZE]; // 存放树中所有结点
int n; // 结点数
} PTree;
1.3树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)
二、二叉树概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点:
每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒。
2.2现实中的二叉树:
2.3数据结构中的二叉树:
2.4特殊的二叉树:
- 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉
树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k) -1 ,则它就是满二叉树。
- 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对
于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号
从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉
树。
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
- 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2
+1 - 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=logN + 1
2.51 顺序存储:
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树
会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲
解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
2.5.2 链式存储:
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的
方法是链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩
子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都
是二叉链,后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
三、二叉树性质相关选择题练习
1.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(
)
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为
()
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
- 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
四、二叉树的实现
4.1头文件:
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BTDataType data;
}BTNode;
4.2Test.c
int main()
{
BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
A->data = 'A';
A->left = NULL;
A->right = NULL;
BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
B->data = 'B';
B->left = NULL;
B->right = NULL;
BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
C->data = 'C';
C->left = NULL;
C->right = NULL;
BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
D->data = 'D';
D->left = NULL;
D->right = NULL;
BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
E->data = 'E';
E->left = NULL;
E->right = NULL;
A->left = B;
A->right = C;
B->left = D;
B->right = E;
return 0;
}
4.3前序,中序,后序(深度优先遍历)
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%c ", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
4.4二叉树所有节点的个数
//方法一:定义全局变量(不推荐)
int size = 0;
void TreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
else {
++size;
}
TreeSize(root->left);
TreeSize(root->right);
return size;
}
方法二:传址调用
int TreeSize(BTNode* root,int* psize)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
else {
++(*psize);
}
TreeSize(root->left, psize);
TreeSize(root->right, psize);
return psize;
}
方法三:递归、分治思想:
否则,返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1(当前节点)
int TreeSize(BTNode* root)
{
// 如果树为空(即根节点为NULL),则返回0
// 否则,返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1(当前节点)
return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
4.5叶节点的个数
int LeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
return 1;
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);
}
4.6层序遍历(广度优先遍历,使用队列)
void LevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
printf("%c ", front->data);
if (front->left)
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
}
QueueDestory(&q);
}
新年第一篇!!!
祝大家新年快乐
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