算法学习——LeetCode力扣动态规划篇9（1035. 不相交的线、53. 最大子数组和、392. 判断子序列、115. 不同的子序列）

算法学习------LeetCode力扣动态规划篇9

1035. 不相交的线

1035. 不相交的线 - 力扣（LeetCode）

描述

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1 $i$ 和 nums2 $j$ 的直线，这些直线需要同时满足：

nums1 $i$ == nums2 $j$

且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例

示例 1：

输入：nums1 = $1,4,2$ , nums2 = $1,2,4$

输出：2

解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。

但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1 $1$ =4 到 nums2 $2$ =4 的直线将与从 nums1 $2$ =2 到 nums2 $1$ =2 的直线相交。

示例 2：

输入：nums1 = $2,5,1,2,5$ , nums2 = $10,5,2,1,5,2$

输出：3

示例 3：

输入：nums1 = $1,3,7,1,7,5$ , nums2 = $1,9,2,5,1$

输出：2

提示

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500

1 <= nums1 $i$ , nums2 $j$ <= 2000

代码解析

动态规划

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列就是一样一样的了。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1 , vector<int>(nums2.size()+1,0));
     
        for(int i=0 ; i<nums1.size();i++)
        {
            for(int j=0 ; j<nums2.size();j++)
            {
               if(nums1[i]==nums2[j])
                    dp[i+1][j+1] = dp[i][j]+1;
               else
                    dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j] , dp[i][j+1]);
            }
        }
        // for(int i=0 ; i<nums1.size();i++)
        // {
        //     for(int j=0 ; j<nums2.size();j++)
        //     {
        //         cout<<dp[i][j]<<' ';
        //     }
        //     cout<<endl;
        // }
   
        return dp[nums1.size()][nums2.size()];
    }
};

53. 最大子数组和

53. 最大子数组和 - 力扣（LeetCode）

描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组

是数组中的一个连续部分。

示例

示例 1：

输入：nums = $-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4$

输出：6

解释：连续子数组 $4,-1,2,1$ 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = $1$

输出：1

示例 3：

输入：nums = $5,4,-1,7,8$

输出：23

提示

1 <= nums.length <= 105

-104 <= nums $i$ <= 104

代码解析

贪心算法

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        
        int sum=0 ,result= INT32_MIN;      //sum是当前数组的和，result是sum中最大的时候
        for(int i=0 ; i<nums.size() ;i++)
        {
            sum += nums[i];  //记录当前的sum
            if(sum > result) result= sum;  //如果sum大于当前result，更新result
            if(sum < 0) sum = 0;  //某一个时期的sum小于0舍去
        }
        return result;
    }
};

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        vector<int>  dp(nums.size() ,0);
        int result = INT_MIN;
        dp[0]= nums[0];
        for(int i=1 ; i<nums.size() ;i++)
        {
            dp[i] = max(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);
        }
        for(int i=0 ; i<nums.size() ;i++) 
        {
            // cout<<dp[i]<<' ';
            if(dp[i] > result) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

392. 判断子序列

392. 判断子序列 - 力扣（LeetCode）

描述

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

进阶

如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, ... , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？

示例

示例 1：

输入：s = "abc", t = "ahbgdc"

输出：true

示例 2：

输入：s = "axc", t = "ahbgdc"

输出：false

提示

0 <= s.length <= 100

0 <= t.length <= 10^4

两个字符串都只由小写字符组成。

代码解析

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        if(s.size()==0&&t.size()!=0) return true;
        if(s.size()==0&&t.size()==0) return true;
        if(s.size()!=0&&t.size()==0) return false;

        vector<bool> dp(s.size() , false);
        int prt = 0;//匹配指针
        for(int i=0 ; i<t.size() ;i++)
        {
            if(s[prt] == t[i])//匹配成功标记，匹配下一个
            {
                dp[prt] = true;
                prt++;
            }
        }

        return dp[s.size()-1];
    }
};

115. 不同的子序列

115. 不同的子序列 - 力扣（LeetCode）

代码描述

给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的子序列中 t 出现的个数，结果需要对 109 + 7 取模。

示例

示例 1：

输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"

输出：3

解释：

如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。

rabbbit

示例 2：

输入：s = "babgbag", t = "bag"

输出：5

解释：

如下所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。

babgbag

提示

1 <= s.length, t.length <= 1000

s 和 t 由英文字母组成

代码解析

动态规划

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ ：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp $i$ $j$ 。
确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况
- s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 相等
  dp $i$ $j$ 可以有两部分组成。
  一部分是用s $i - 1$ 来匹配，那么个数为dp $i - 1$ $j - 1$ 。
  一部分是不用s $i - 1$ 来匹配，个数为dp $i - 1$ $j$ 。
  dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + dp $i - 1$ $j$ ;
- s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 不相等
  dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ ;
dp数组如何初始化
- dp $i$ $0$ 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
  
  那么dp $i$ $0$ 一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
- 再来看dp $0$ $j$ ，dp $0$ $j$ ：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
  
  那么dp $0$ $j$ 一定都是0，s如论如何也变成不了t。
- 最后就要看一个特殊位置了，即：dp $0$ $0$ 应该是多少。
  
  dp $0$ $0$ 应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size()+1 , vector<uint64_t>(t.size()+1,0) );

        for(int i=1 ; i<s.size()+1 ;i++)
            dp[i][0] = 1;
        for(int j=1 ;j<t.size()+1 ;j++)
            dp[0][j] = 0;

        dp[0][0] = 1;

        for(int i=0 ; i<s.size() ;i++)
        {
            for(int j=0 ;j<t.size();j++)
            {
                if(s[i]==t[j]) dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + dp[i][j+1];
                else dp[i+1][j+1] = dp[i][j+1];
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};