图论：1857. 有向图中最大颜色值（拓扑排序+动态规划）

Yorelee.2024-08-05 9:21

文章目录

  • 1.问题分析
  • 2.代码解析
    • [2.1 代码步骤](#2.1 代码步骤)
      • [1. 初始化数据结构](#1. 初始化数据结构)
      • [2. 构建图和入度数组](#2. 构建图和入度数组)
      • [3. 初始化队列](#3. 初始化队列)
      • [4. 拓扑排序和动态规划](#4. 拓扑排序和动态规划)
      • [5. 检查是否存在环并返回结果](#5. 检查是否存在环并返回结果)
  • [3. 问题扩展](#3. 问题扩展)
      • [1. 最长路径问题（DAG）](#1. 最长路径问题（DAG）)
      • [2. 最短路径问题（DAG）](#2. 最短路径问题（DAG）)
      • [3. 最大路径和问题](#3. 最大路径和问题)
      • [4. 路径计数问题](#4. 路径计数问题)
      • [5. 关键路径法（Critical Path Method, CPM）](#5. 关键路径法（Critical Path Method, CPM）)
      • [6. DAG上的单源最短路径（Single Source Shortest Path in DAG）](#6. DAG上的单源最短路径（Single Source Shortest Path in DAG）)
      • [7. 有向无环图中的最大子序列和问题](#7. 有向无环图中的最大子序列和问题)
      • [8. DAG中的最长递增子序列问题](#8. DAG中的最长递增子序列问题)
      • [9. 资源分配问题（DAG）](#9. 资源分配问题（DAG）)

LeetCode：1857. 有向图中最大颜色值

本题乍一看和求所有路径中的最长路径没啥区别，直接暴力枚举所有路径，但是时间复杂度不允许我们这样做。

1.问题分析

数据结构：图的拓扑排序与关键路径

其实关键路径就是使用了动态规划解法，它先将有向无环图进行拓扑排序，然后按照拓扑序进行动态规划。

  • 有向无环图一定存在拓扑排序
  • 按照拓扑序顺序遍历，每次更新该结点的后继，按照这个方法，遍历到某结点时一定能够保证其前驱都已经遍历过并且进行过更新。我们并不需要关心具体的顺序是什么，但一定有边 < u , v > <u,v> <u,v>， u u u的状态能够更新 v v v。

因此本题也可以使用拓扑排序+动态规划 。

2.代码解析

我们定义一个 d p [ i ] [ c ] dp[i][c] dp[i][c]表示第 i i i个节点的颜色 c c c。

则必有： d p [ i ] [ c ] = m a x ( d p [ i p r e ] [ c ] ) + I ( i p r e , i ) dp[i][c] = max(dp[i_{pre}][c]) + I(i_{pre},i) dp[i][c]=max(dp[ipre][c])+I(ipre,i)

  • 求到达第 i i i个节点时 能够包含的最多颜色 c c c的个数，等价于到达其前驱 i p r e i_{pre} ipre能够包含的最多颜色 c c c的个数再一步到达 i i i包含的个数。
cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int largestPathValue(string colors, vector<vector<int>>& edges) {
        vector<vector<int>> dp(colors.size(), vector<int>(26, 0));
        vector<int> inDegrees(colors.size(), 0);
        vector<vector<int>> graph(colors.size());

        for(int i = 0; i < edges.size(); ++i){
            inDegrees[edges[i][1]] ++;
            graph[edges[i][0]].emplace_back(edges[i][1]);
        }

        vector<int> topo;//拓扑序
        queue<int> q;
        for(int i = 0; i < colors.size(); ++ i){
            if(inDegrees[i] == 0){
                q.push(i);
            }
        }

        while(!q.empty()){
            int u = q.front(); q.pop();
            topo.emplace_back(u);
            for(auto & v : graph[u]){
                -- inDegrees[v];
                if(inDegrees[v] == 0) {q.push(v);}
            }
        }

        int ans = 0;
        for(auto & u : topo){
            for(int i = 0; i < 26; ++ i){
                if(colors[u] == 'a' + i) dp[u][i] ++;
                ans = max(ans, dp[u][i]);
                for(auto & v : graph[u]){
                    dp[v][i] = max(dp[u][i], dp[v][i]);
                }
            }
        }

        if(topo.size() != colors.size()) return -1;
        return ans;
    }
};

可以进行进一步优化：

（1）拓扑排序的过程中更新，这样就不用求出拓扑序了，因为排序的过程中就是拓扑序了，所以边排序边更新状态。

（2）ans的求解使用 a n s = m a x ( a n s , d p [ u ] [ c o l o r s [ u ] − ′ a ′ ] ) ans = max(ans, dp[u][colors[u] - 'a']) ans=max(ans,dp[u][colors[u]−′a′])，原因在于，任何一个颜色最大路径，该颜色的最后一个结点都会被遍历到，用该结点就能求出最大值。

（3）由于是固定大小的数组，直接使用array即可。（这是加速的关键）

使用vector<int>(26, 0)：

使用array<int, 26>：

这说明在不使用动态数组的情况下，固定大小的静态数组使用array比vector快很多。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int largestPathValue(string colors, vector<vector<int>>& edges) {
        vector<array<int, 26>> dp(colors.size());
        vector<int> inDegrees(colors.size(), 0);
        vector<vector<int>> graph(colors.size());

        for(int i = 0; i < edges.size(); ++i){
            inDegrees[edges[i][1]] ++;
            graph[edges[i][0]].emplace_back(edges[i][1]);
        }

        queue<int> q;
        for(int i = 0; i < colors.size(); ++ i){
            if(inDegrees[i] == 0){
                q.push(i);
            }
        }

        int ans = 0;
        int topo = 0;
        while(!q.empty()){
            int u = q.front(); q.pop();
            topo ++;
            
            dp[u][colors[u] - 'a'] ++;
            ans = max(ans, dp[u][colors[u] - 'a']);
            for(auto & v : graph[u]){
                -- inDegrees[v];
                if(inDegrees[v] == 0) {q.push(v);}
                for(int i = 0; i < 26; ++ i){
                    dp[v][i] = max(dp[u][i], dp[v][i]);
                }
            }
        }

        if(topo != colors.size()) return -1;
        return ans;
    }
};

好的，让我们详细解释这段代码。该代码的目的是解决一个有向图中的最大路径值问题，其中每个节点都有一个颜色。目标是找到从图的起点到终点路径中某种颜色出现最多的次数。

2.1 代码步骤

1. 初始化数据结构

cpp 复制代码 
vector<array<int, 26>> dp(colors.size());
vector<int> inDegrees(colors.size(), 0);
vector<vector<int>> graph(colors.size());
  • dp：一个二维数组，dp[i][j] 表示从起点到节点 i 的路径中颜色 j（用0到25表示）的最大出现次数。
  • inDegrees：记录每个节点的入度。
  • graph：表示图的邻接表。

2. 构建图和入度数组

cpp 复制代码 
for(int i = 0; i < edges.size(); ++i){
    inDegrees[edges[i][1]]++;
    graph[edges[i][0]].emplace_back(edges[i][1]);
}
  • 遍历 edges，填充 inDegrees 和 graph。
  • 对于每一条边 (u, v)，增加 v 的入度，并在 graph[u] 中添加 v。

3. 初始化队列

cpp 复制代码 
queue<int> q;
for(int i = 0; i < colors.size(); ++i){
    if(inDegrees[i] == 0){
        q.push(i);
    }
}
  • 初始化一个队列 q，将所有入度为 0 的节点入队。这些节点作为拓扑排序的起点。

4. 拓扑排序和动态规划

cpp 复制代码 
int ans = 0;
int topo = 0;
while(!q.empty()){
    int u = q.front(); q.pop();
    topo++;
    
    dp[u][colors[u] - 'a']++;
    ans = max(ans, dp[u][colors[u] - 'a']);
    for(auto & v : graph[u]){
        --inDegrees[v];
        if(inDegrees[v] == 0) { q.push(v); }
        for(int i = 0; i < 26; ++i){
            dp[v][i] = max(dp[u][i], dp[v][i]);
        }
    }
}
  • ans：记录路径上颜色出现的最大次数。
  • topo：记录拓扑排序的节点数量，用于检测是否存在环。

主要逻辑：

  • 取队首节点 u，更新 topo。
  • 更新 dp[u][colors[u] - 'a']，表示节点 u 的颜色出现次数增加。
  • 更新 ans 为当前颜色出现的最大次数。
  • 遍历 u 的邻接节点 v：
    • 减少 v 的入度。
    • 如果 v 的入度为 0，入队 q。
    • 更新 dp[v]，根据从 u 到 v 的路径更新 v 的颜色出现次数。

5. 检查是否存在环并返回结果

cpp 复制代码 
if(topo != colors.size()) return -1;
return ans;
  • 如果拓扑排序遍历的节点数量不等于 colors 的长度，说明图中存在环，返回 -1。
  • 否则，返回 ans，即路径上某种颜色的最大出现次数。

3. 问题扩展

1. 最长路径问题（DAG）

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从一个起点到终点的最长路径。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按照拓扑序进行动态规划，计算每个节点的最长路径长度。

2. 最短路径问题（DAG）

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从一个起点到终点的最短路径。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按照拓扑序进行动态规划，计算每个节点的最短路径长度。

3. 最大路径和问题

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从起点到终点的路径中权重总和最大的路径。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算每个节点的路径权重总和。

4. 路径计数问题

问题描述 ：

计算从起始点到终点的所有可能路径的数量。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序计算从起始点到每个节点的路径数量。

5. 关键路径法（Critical Path Method, CPM）

问题描述 ：

在项目管理中，给定一组任务及其依赖关系，找出项目的关键路径和项目的最短完成时间。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定任务的处理顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间，从而确定关键路径。

6. DAG上的单源最短路径（Single Source Shortest Path in DAG）

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从一个起点到所有其他节点的最短路径。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算从起点到每个节点的最短路径长度。

7. 有向无环图中的最大子序列和问题

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从起点到终点的最大子序列和。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算每个节点的最大子序列和。

8. DAG中的最长递增子序列问题

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中找到从起点到终点的最长递增子序列。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算每个节点的最长递增子序列长度。

9. 资源分配问题（DAG）

问题描述 ：

在一个有向无环图（DAG）中，给定每个节点的资源需求和资源量，计算从起点到终点的最大资源分配路径。

解决方案：

  1. 使用拓扑排序确定处理节点的顺序。
  2. 按拓扑序进行动态规划，计算每个节点的最大资源分配路径。
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