ARCH和GARCH模型

ARCH 模型（ Autoregressive conditional heteroskedasticity model ）全称"自回归条件异方差模型"，在现代高频金融时间序列中，数据经常出现波动性聚集的特点，但从长期来看数据是平稳的，即长期方差（无条件方差）是定值，但从短期来看方差是不稳定的，我们称这种异方差为条件异方差。传统的时间序列模型如ARMA 模型识别不出来这一特征。
ARCH 模型由美国加州大学恩格尔 (Engle) 教授 1982 年在《计量经济学》杂志（Econometrica ）的一篇论文中首次提出，此后在计量经济领域中得到迅速发展，恩格尔教授也于2003年获诺贝尔经济学奖。

2.2适用情形

数据呈现波动聚集性（volatility clustering）长期来看时间序列平稳，短期来看不平稳，存在异方差

2.3条件异方差

因为加法条件异方差的性质不容易探究，因此我们所说的ARCH模型均是下面的乘法条件异方差模型。另外，大家可以看出，实际上ARCH模型是在ARMA模型的基础上提出来的，两者的区别在于扰动项的设置不同，在ARMA模型中扰动项是最简单的白噪声序列。

2.4ARCH(1)模型和ARCH(q)模型

三、GARCH(p,q)模型

3.1ARCH(q)效应和GARCH(p,q)效应

3.2GARCH效应检验

3.2.1检验GARCH效应：LM检验

四、深成B指时间序列的预测建模

4.1摘要

深证成份股指数是深圳证券交易所编制的一种成份股指数，是从上市的所有股票中抽取具有市场代表性的40家上市公司的股票作为计算对象，并以流通股为权数计算得出的加权股价指数，综合反映深交所上市 A、B股的股价走势。成份B股指数变更为包含深圳市场10只B股的B股总收益指数。我们将时间区间选取为2014年1月至2018年5月，共计1064个交易日的收盘价数据，在下文中，分别建立了ARMA模型和GARCH模型对其收益率进行了预测，得到了良好的结果。（代号：399003 ）

4.2原始数据时间序列图

根据2014年1月至2018年5月共计1064个交易日的收盘价数据，我们做出了B股指数的时序图从图中可以看出，指数序列非平稳，尤其是2015年到2016年之间波动十分剧烈。

4.3收益率序列图

因此，我们对原始数据进行处理，计算其收益率，所用公式如下：

4.4单位根检验

下面，我们进一步检验收益率序列有无单位根，利用Stata做ADF检验，得到的结果如下表所示：

ADF检验的原假设：数据是单位根序列，备择假设：数据是平稳序列
注意：平稳数据建模用ARMA模型（或者ARIMA(p,0,q)），单位根数据建模用ARIMA模型。上表结果显示p值为0，在99%的置信水平下拒绝原假设，故序列平稳。

4.5ACF和PACF图

由ACF图和PACF图，3阶和8阶相关系数较为显著，8阶之后的显著可能由于误差导致，不予考虑。 (1阶虽然显著，但其包含的信息太少，我们对高频数据进行建模时往往不考虑)
因此，为保证模型选取的准确性，我们拟合了四个模型并从中选取最优的模型。其中Model1：ARMA（3,3）；Model2：ARMA（8,8）；Model3：ARMA（3,8）；Model4：ARMA（8,3）。

4.6AIC和BIC选择模型

太多的滞后项会增加预测的误差，太少的滞后项又会遗失部分相关信息。经验和理论知识通常是用来决定滞后项阶数的最好方式，然而，依然存在着一些准则帮助我们确定滞后的阶数。为了确定哪个模型拟合效果最好，我们分别估计出了这四种模型，并给出了对应的AIC和BIC值，我们认为AIC与BIC值较小，模型拟合效果较好。

我们根据AIC和BIC准则可知，这四个模型中应选取Model1，即ARMA（3,3）模型。此时，AIC值和BIC值的平均值最小。

4.7ARMA（3,3）模型的估计结果

4.8残差序列的分布直方图

4.9检验残差是否为白噪声

接着，我们使用Ljung‐Box Q检验，来检验ARMA模型的有效性，检验结果为下表所示：

滞后12项的检验值的P值大于0.05，在5%的显著性水平下并不能拒绝原假设。故可以认为通过白噪声检验，即我们认为回归得到的残差不存在较明显的相关性，因此模型有效性较好。

4.10对残差的平方进行LM检验

4.11利用AIC、BIC选择合适的模型

通过比较AIC和BIC，最终我们选择使用带有GARCH(1,1)且 vt服从t分布的扰动项的ARMA(3,3)模型进行估计。