【线性代数】几种行/列向量相乘的情况讨论

向量的定义

由 n n n 个数组成的有序数组叫做 n 维向量 n\ 维向量 n 维向量，例如
a = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) T ，被成为列向量 \mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n)^T，被成为列向量 a=(a1,a2,...an)T，被成为列向量

或
a = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) ，被成为行向量 \mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n)，被成为行向量 a=(a1,a2,...an)，被成为行向量

向量相乘的情况讨论

假设有列向量 α \mathbf{\alpha} α 和 β \mathbf{\beta} β
α = [ a 1 , a 2 , a 3 ] T \mathbf{\alpha}=[a_1,a_2,a_3]^T α=[a1,a2,a3]T

β = [ b 1 , b 2 , b 3 ] T \mathbf{\beta}=[b_1,b_2,b_3]^T β=[b1,b2,b3]T

列向量 × \times × 行向量

α α T = [ a 1 a 2 a 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 1 a 2 2 a 2 a 3 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 2 ] \mathbf{\alpha \alpha^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a_1}^2&a_1a_2&a_1a_3\\ a_2a_1&a_2^2&a_2a_3\\ a_3a_1&a_3a_2&a_3^2 \end{bmatrix} ααT= a1a2a3 [a1a2a3]= a12a2a1a3a1a1a2a22a3a2a1a3a2a3a32

α β T = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ] \mathbf{\alpha \beta^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\ a_2b_1&a_2b_2&a_2b_3\\ a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3 \end{bmatrix} αβT= a1a2a3 [b1b2b3]= a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3

β α T = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 ] \mathbf{\beta \alpha^T}=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_2b_1&a_3b_1\\ a_1b_2&a_2b_2&a_3b_2\\ a_1b_3&a_2b_3&a_3b_3 \end{bmatrix} βαT= b1b2b3 [a1a2a3]= a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3

通过观察以上三个式子可知， n n n 维列向量乘上 n n n 维行向量，结果是一个 n × n n\times n n×n矩阵

行向量 × \times × 列向量

α T α = [ a 1 a 2 a 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 \mathbf{\alpha^T \alpha}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1^2+a_2^2+a_3^2 αTα=[a1a2a3] a1a2a3 =a12+a22+a32

α T β = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\alpha^T \beta}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 αTβ=[a1a2a3] b1b2b3 =a1b1+a2b2+a3b3

β T α = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\beta^T \alpha}=\begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 βTα=[b1b2b3] a1a2a3 =a1b1+a2b2+a3b3

通过观察以上三个式子可知， n n n 维行向量乘上 n n n 维列向量，结果是一个数