【线性代数】几种行/列向量相乘的情况讨论
向量的定义
由 n n n 个数组成的有序数组叫做 n 维向量 n\ 维向量 n 维向量 ，例如
a = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) T ，被成为列向量 \mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n)^T，被成为列向量 a=(a1,a2,...an)T，被成为列向量
或
a = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) ，被成为行向量 \mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n)，被成为行向量 a=(a1,a2,...an)，被成为行向量
向量相乘的情况讨论
假设有列向量 α \mathbf{\alpha} α 和 β \mathbf{\beta} β
α = a 1 , a 2 , a 3 T \mathbf{\alpha}=a_1,a_2,a_3^T α=a1,a2,a3T
β = b 1 , b 2 , b 3 T \mathbf{\beta}=b_1,b_2,b_3^T β=b1,b2,b3T
列向量 × \times × 行向量
α α T = a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 1 a 2 2 a 2 a 3 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 2 \mathbf{\alpha \alpha^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a_1}^2&a_1a_2&a_1a_3\\ a_2a_1&a_2^2&a_2a_3\\ a_3a_1&a_3a_2&a_3^2 \end{bmatrix} ααT= a1a2a3 a1a2a3= a12a2a1a3a1a1a2a22a3a2a1a3a2a3a32
α β T = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 \mathbf{\alpha \beta^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\ a_2b_1&a_2b_2&a_2b_3\\ a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3 \end{bmatrix} αβT= a1a2a3 b1b2b3= a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3
β α T = b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 = a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 \mathbf{\beta \alpha^T}=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_2b_1&a_3b_1\\ a_1b_2&a_2b_2&a_3b_2\\ a_1b_3&a_2b_3&a_3b_3 \end{bmatrix} βαT= b1b2b3 a1a2a3= a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3
- 通过观察以上三个式子可知， n n n 维列向量乘上 n n n 维行向量，结果是一个 n × n n\times n n×n矩阵
行向量 × \times × 列向量
α T α = a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 \mathbf{\alpha^T \alpha}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1^2+a_2^2+a_3^2 αTα=a1a2a3 a1a2a3 =a12+a22+a32
α T β = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\alpha^T \beta}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 αTβ=a1a2a3 b1b2b3 =a1b1+a2b2+a3b3
β T α = b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\beta^T \alpha}=\begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 βTα=b1b2b3 a1a2a3 =a1b1+a2b2+a3b3
- 通过观察以上三个式子可知， n n n 维行向量乘上 n n n 维列向量，结果是一个 数