数学建模笔记------动态规划
- 动态规划
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- [1. 模型原理](#1. 模型原理)
- [2. 典型例题](#2. 典型例题)
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- [2.1 例1 凑硬币](#2.1 例1 凑硬币)
- [2.2 例2 背包问题](#2.2 例2 背包问题)
- [3. python代码实现](#3. python代码实现)
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- [3.1 例1](#3.1 例1)
- [3.2 例2](#3.2 例2)
动态规划
1. 模型原理
动态规划是运筹学的一个分支，通常用来解决多阶段决策过程最优化问题。动态规划的基本想法就是将原问题转换为一系列相互联系的子问题，然后通过逐层地推来求得最后的解。目前，动态规划常常出现在各类计算机算法竞赛或者程序员笔试面试中，在数学建模中出现的相对较少，但这个算法的思想在生活中非常实用，会对我们解决实际问题的思维方式有一定启发。
动态规划组成部分：
- 确定状态：解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素需要明确代表什么，类似于确定数学题中X、Y的含义
- 转移方程：把状态表达成方程
- 初始条件和边界情况
- 计算顺序
2. 典型例题
2.1 例1 凑硬币
你有三种硬币，分别面值2元、5元和7元，每种硬币都有足够多，买一本书需要27元，如何用最少的硬币组合起来正好付清，不需要对方找钱
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确定状态
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最后一步：
虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是有k校硬币， a 1 , a 2 , . . . . . . a k a_1,a_2,......a_k a1,a2,......ak加起来面值为27，所以一定存在有最后一枚硬币： a k a_k ak，除了这枚硬币，前面的面值加起来是 27 − a k 27-a_k 27−ak，两个关键点：
- 我们不关心前面的 k − 1 k-1 k−1枚硬币是怎么拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak的(可能有很多种拼法),而且我们现在甚至还不知道 a k a_k ak和 k k k是多少，但我们可以确定前面的硬币拼出了 27 − a k 27-a_k 27−ak
- 因为是最优策略，所以拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak的硬币数一定要最少，否则就不是最优策略
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子问题：
- 最少可以用多少枚硬币拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak
- 原问题是最少可以用多少枚硬币可以拼出27
- 我们将原问题可以转化为一个规模更小的子问题： 27 − a k 27-a_k 27−ak
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状态：
我们可以设状态 f ( x ) = 最少用多少枚硬币拼出 x f(x)=最少用多少枚硬币拼出x f(x)=最少用多少枚硬币拼出x
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转移方程
对于任意 x x x
f x = m i n { f x − 2 + 1 , f x − 5 + 1 , f x − 7 + 1 } fx=min\{fx-2+1,fx-5+1,fx-7+1\} fx=min{fx−2+1,fx−5+1,fx−7+1} -
初始条件和边界情况
- 转移方程有两个问题
- x − 2 , x − 5 , 或 x − 7 x-2,x-5,或x-7 x−2,x−5,或x−7小于0怎么办
- 什么时候停下来
- 所以：
- 如果不能拼出Y，那么就定义 f Y = fY= fY=正无穷，例如 f − 1 = f − 2 = f − 3 = ⋯ = f-1=f-2=f-3=\cdots= f−1=f−2=f−3=⋯=正无穷
- 所以 f 1 = min { f − 1 + 1 , f − 4 + 1 , f − 6 + 1 } = f1=\operatorname*{min}\{f-1+1,f-4+1,f-6+1\}= f1=min{f−1+1,f−4+1,f−6+1}=正无穷，表示拼不出来
- 初始条件 f 0 = 0 f0=0 f0=0
- 转移方程有两个问题
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计算顺序
- 拼出 x x x所需要的最少硬币数： f x = m i n { f x − 2 + 1 , f x − 5 + 1 , f x − 7 + 1 } fx=min\{fx-2+1,fx-5+1,fx-7+1\} fx=min{fx−2+1,fx−5+1,fx−7+1}
- 初始条件： f 0 = 0 f0=0 f0=0
- 然后计算 f 1 , f 2 , . . . , f x f1,f2,...,fx f1,f2,...,fx
2.2 例2 背包问题
有一个小偷去偷东西，他的背包可以容纳总重量为 W W W的物品，现在有 n n n件物品，每件物品的重量为 w i w_i wi, 价值为 v i v_i vi ,求能够放进背包的物品的最大价值。
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状态： d p i j dpij dpij表示前 i i i件物品放入容量为 j j j的背包中所获得的最大价值
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状态转移方程：对于第 i i i件物品，可以选择放或不放
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如果不放，那么 d p i j = d p i − 1 j dpij=dpi-1j dpij=dpi−1j
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如果放，那么 d p i j = d p i − 1 j − w i + ν i dpij=dpi-1j-w_i+\nu_i dpij=dpi−1j−wi+νi
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选择获得最大价值的情况，即
d p i j = m a x ( d p i − 1 j , d p i − 1 j − w i + v i ) dpij\:=\:max(dpi-1j,dpi-1j-w_i\:+\:v_i) dpij=max(dpi−1j,dpi−1j−wi+vi)
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初始条件：
- d p 0 0 = 0 dp 0 0 = 0 dp00=0,将前0个物品放入容量为0的背包中能获得的最大价值为0
- 如果容量为 0,则无法放入任何物品， d p i 0 = 0 dpi0=0 dpi0=0
- 如果没有物品可选，则无法放入任何物品， d p 0 j = 0. dp0j=0. dp0j=0.
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求解顺序：从第一个物品开始，求解到 n n n
最终， d p n W dpnW dpnW即为问题的解
3. python代码实现
3.1 例1
python
def coinChange(n):
"""用于计算找零的最少硬币数
Args:
n (int): 需要找零的金额
return:
int: 最少硬币数,如果无法找零则返回-1
"""
dp = [float('inf')]*(n+1) # 初始化动态规划数组
dp[0] = 0 # 金额为0时，最少硬币数为0
for i in range(1, n+1):
for j in [2, 5, 7]:
if i >= j:
dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+1)
if dp[n] == float('inf'):
return -1
else:
return dp[n]
n = int(input("请输入需要找零的金额："))
res = coinChange(n)
print("最少硬币数为：", res)测试结果：
请输入需要找零的金额：27
最少硬币数为： 53.2 例2
python
def knapsack(weights, values, capacity):
"""用于求解0-1背包问题的动态规划算法
Args:
weights (int): 物品的重量列表
values (int): 物品的价值列表
capacity (int): 背包的容量
return:
int: 背包能装的最大价值
"""
n = len(weights) # 物品的数量
dp = [[0 for j in range(capacity+1)] for i in range(n+1)] # 初始化动态规划数组
# 动态规划求解过程
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, capacity+1):
if j < weights[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])
return dp[n][capacity]
w = input("请输入物品的重量列表（用逗号隔开）：")
v = input("请输入物品的价值列表（用逗号隔开）：")
weights = [int(i) for i in w.split(",")]
values = [int(i) for i in v.split(",")]
c = int(input("请输入背包的容量："))
res = knapsack(weights, values, c)
print("背包能装的最大价值为：", res)输入及输出：
请输入物品的重量列表（用逗号隔开）：1,2,3
请输入物品的价值列表（用逗号隔开）：3,4,5
请输入背包的容量：5
背包能装的最大价值为： 9
请输入物品的重量列表（用逗号隔开）：1,2,3
请输入物品的价值列表（用逗号隔开）：4,5,6
请输入背包的容量：5
背包能装的最大价值为： 11