数学建模笔记——动态规划

数学建模笔记------动态规划

  • 动态规划
    • [1. 模型原理](#1. 模型原理)
    • [2. 典型例题](#2. 典型例题)
      • [2.1 例1 凑硬币](#2.1 例1 凑硬币)
      • [2.2 例2 背包问题](#2.2 例2 背包问题)
    • [3. python代码实现](#3. python代码实现)
      • [3.1 例1](#3.1 例1)
      • [3.2 例2](#3.2 例2)

动态规划

1. 模型原理

动态规划是运筹学的一个分支,通常用来解决多阶段决策过程最优化问题。动态规划的基本想法就是将原问题转换为一系列相互联系的子问题,然后通过逐层地推来求得最后的解。目前,动态规划常常出现在各类计算机算法竞赛或者程序员笔试面试中,在数学建模中出现的相对较少,但这个算法的思想在生活中非常实用,会对我们解决实际问题的思维方式有一定启发。

动态规划组成部分:

  1. 确定状态:解动态规划的时候需要开一个数组,数组的每个元素需要明确代表什么,类似于确定数学题中X、Y的含义
  2. 转移方程:把状态表达成方程
  3. 初始条件和边界情况
  4. 计算顺序

2. 典型例题

2.1 例1 凑硬币

你有三种硬币,分别面值2元、5元和7元,每种硬币都有足够多,买一本书需要27元,如何用最少的硬币组合起来正好付清,不需要对方找钱

  1. 确定状态

    • 最后一步:

      虽然我们不知道最优策略是什么,但是最优策略肯定是有k校硬币, a 1 , a 2 , . . . . . . a k a_1,a_2,......a_k a1,a2,......ak加起来面值为27,所以一定存在有最后一枚硬币: a k a_k ak,除了这枚硬币,前面的面值加起来是 27 − a k 27-a_k 27−ak,两个关键点:

      • 我们不关心前面的 k − 1 k-1 k−1枚硬币是怎么拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak的(可能有很多种拼法),而且我们现在甚至还不知道 a k a_k ak和 k k k是多少,但我们可以确定前面的硬币拼出了 27 − a k 27-a_k 27−ak
      • 因为是最优策略,所以拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak的硬币数一定要最少,否则就不是最优策略
    • 子问题:

      • 最少可以用多少枚硬币拼出 27 − a k 27-a_k 27−ak
      • 原问题是最少可以用多少枚硬币可以拼出27
      • 我们将原问题可以转化为一个规模更小的子问题: 27 − a k 27-a_k 27−ak
    • 状态:

      我们可以设状态 f ( x ) = 最少用多少枚硬币拼出 x f(x)=最少用多少枚硬币拼出x f(x)=最少用多少枚硬币拼出x

  2. 转移方程

    对于任意 x x x
    f [ x ] = m i n { f [ x − 2 ] + 1 , f [ x − 5 ] + 1 , f [ x − 7 ] + 1 } f[x]=min\{f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1\} f[x]=min{f[x−2]+1,f[x−5]+1,f[x−7]+1}

  3. 初始条件和边界情况

    • 转移方程有两个问题
      • x − 2 , x − 5 , 或 x − 7 x-2,x-5,或x-7 x−2,x−5,或x−7小于0怎么办
      • 什么时候停下来
    • 所以:
      • 如果不能拼出Y,那么就定义 f [ Y ] = f[Y]= f[Y]=正无穷,例如 f [ − 1 ] = f [ − 2 ] = f [ − 3 ] = ⋯ = f[-1]=f[-2]=f[-3]=\cdots= f[−1]=f[−2]=f[−3]=⋯=正无穷
      • 所以 f [ 1 ] = min ⁡ { f [ − 1 ] + 1 , f [ − 4 ] + 1 , f [ − 6 ] + 1 } = f[1]=\operatorname*{min}\{f[-1]+1,f[-4]+1,f[-6]+1\}= f[1]=min{f[−1]+1,f[−4]+1,f[−6]+1}=正无穷,表示拼不出来
      • 初始条件 f [ 0 ] = 0 f[0]=0 f[0]=0
  4. 计算顺序

    • 拼出 x x x所需要的最少硬币数: f [ x ] = m i n { f [ x − 2 ] + 1 , f [ x − 5 ] + 1 , f [ x − 7 ] + 1 } f[x]=min\{f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1\} f[x]=min{f[x−2]+1,f[x−5]+1,f[x−7]+1}
    • 初始条件: f [ 0 ] = 0 f[0]=0 f[0]=0
    • 然后计算 f [ 1 ] , f [ 2 ] , . . . , f [ x ] f[1],f[2],...,f[x] f[1],f[2],...,f[x]

2.2 例2 背包问题

有一个小偷去偷东西,他的背包可以容纳总重量为 W W W的物品,现在有 n n n件物品,每件物品的重量为 w i w_i wi, 价值为 v i v_i vi ,求能够放进背包的物品的最大价值。

  1. 状态: d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示前 i i i件物品放入容量为 j j j的背包中所获得的最大价值

  2. 状态转移方程:对于第 i i i件物品,可以选择放或不放

    • 如果不放,那么 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j]=dp[i-1][j] dp[i][j]=dp[i−1][j]

    • 如果放,那么 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − w i ] + ν i dp[i][j]=dp[i-1][j-w_i]+\nu_i dp[i][j]=dp[i−1][j−wi]+νi

    • 选择获得最大价值的情况,即
      d p [ i ] [ j ]   =   m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ]   +   v i ) dp[i][j]\:=\:max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]\:+\:v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)

  3. 初始条件:

    • d p [ 0 ] [ 0 ] = 0 dp[ 0] [ 0] = 0 dp[0][0]=0,将前0个物品放入容量为0的背包中能获得的最大价值为0
    • 如果容量为 0,则无法放入任何物品, d p [ i ] [ 0 ] = 0 dp[i][0]=0 dp[i][0]=0
    • 如果没有物品可选,则无法放入任何物品, d p [ 0 ] [ j ] = 0. dp[0][j]=0. dp[0][j]=0.
  4. 求解顺序:从第一个物品开始,求解到 n n n

最终, d p [ n ] [ W ] dp[n][W] dp[n][W]即为问题的解

3. python代码实现

3.1 例1

python 复制代码
def coinChange(n):
    """用于计算找零的最少硬币数

    Args:
        n (int): 需要找零的金额
    return:
        int: 最少硬币数,如果无法找零则返回-1
    """
    dp = [float('inf')]*(n+1)  # 初始化动态规划数组
    dp[0] = 0  # 金额为0时,最少硬币数为0
    for i in range(1, n+1):
        for j in [2, 5, 7]:
            if i >= j:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+1)
    if dp[n] == float('inf'):
        return -1
    else:
        return dp[n]


n = int(input("请输入需要找零的金额:"))
res = coinChange(n)
print("最少硬币数为:", res)

测试结果:

请输入需要找零的金额:27
最少硬币数为: 5

3.2 例2

python 复制代码
def knapsack(weights, values, capacity):
    """用于求解0-1背包问题的动态规划算法

    Args:
        weights (int): 物品的重量列表
        values (int): 物品的价值列表
        capacity (int): 背包的容量
    return:
        int: 背包能装的最大价值
    """
    n = len(weights)  # 物品的数量
    dp = [[0 for j in range(capacity+1)] for i in range(n+1)]  # 初始化动态规划数组

    # 动态规划求解过程
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, capacity+1):
            if j < weights[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])
    return dp[n][capacity]


w = input("请输入物品的重量列表(用逗号隔开):")
v = input("请输入物品的价值列表(用逗号隔开):")
weights = [int(i) for i in w.split(",")]
values = [int(i) for i in v.split(",")]
c = int(input("请输入背包的容量:"))
res = knapsack(weights, values, c)
print("背包能装的最大价值为:", res)

输入及输出:

请输入物品的重量列表(用逗号隔开):1,2,3
请输入物品的价值列表(用逗号隔开):3,4,5
请输入背包的容量:5
背包能装的最大价值为: 9

请输入物品的重量列表(用逗号隔开):1,2,3
请输入物品的价值列表(用逗号隔开):4,5,6
请输入背包的容量:5
背包能装的最大价值为: 11
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