文章目录
平面方程
直角坐标及基本运算
- 向量的四则运算
下面由文心一言自动生成
- 向量的四则运算主要包括加法、减法、数乘（标量乘法）和数量积（点积或内积），但通常不直接称为"除法"，因为向量没有直接的"除法"定义。不过，可以通过一些方式（如使用逆矩阵或叉积的特殊情况）来间接实现类似"除法"的效果，但这些通常不在基础向量四则运算的范畴内。
1. 向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。给定两个向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b ，它们的和 a ⃗ + b ⃗ \vec{a} + \vec{b} a +b 是一个新的向量，其起点与 a ⃗ \vec{a} a 的起点相同，终点与从 a ⃗ \vec{a} a 的终点出发、沿 b ⃗ \vec{b} b
方向的向量终点相同。
2. 向量减法
向量减法可以看作是加上一个向量的相反向量。即， a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) a −b =a +(−b )。这里， − b ⃗ -\vec{b} −b 是 b ⃗ \vec{b} b 的相反向量，其大小与 b ⃗ \vec{b} b 相同但方向相反。
3. 数乘（标量乘法）
数乘是将一个向量与一个标量（实数）相乘的运算。给定一个向量 a ⃗ \vec{a} a 和一个标量 k k k，数乘的结果 k a ⃗ k\vec{a} ka
是一个新的向量，其大小是 a ⃗ \vec{a} a 的大小的 k k k 倍（如果 k k k 是负数，则方向相反），方向与原向量相同（除非 k k k
为负）。
4. 数量积（点积或内积）
数量积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量（实数）。给定两个向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b ，它们的数量积
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a} \cdot \vec{b} a ⋅b 定义为 ∣ a ⃗ ∣ × ∣ b ⃗ ∣ × cos θ |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \cos \theta ∣a ∣×∣b ∣×cosθ，其中 θ \theta θ 是 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b之间的夹角。数量积满足交换律、分配律等性质，但不满足结合律（因为结果是一个标量）。
注意
- 向量之间不能直接进行"除法"，但可以通过其他方式（如解线性方程组或使用逆矩阵）来找到与给定向量和结果向量相关的第三个向量。
- 叉积是另一种向量运算，但它不是四则运算之一，并且只在三维空间中定义。叉积的结果是一个向量，其大小与两个原向量的"平行四边形"面积成正比，方向垂直于这两个向量所构成的平面。
1. 向量加法
例子：
设有两个二维向量 a ⃗ = ( 2 , 3 ) \vec{a} = (2, 3) a =(2,3) 和 b ⃗ = ( 4 , 1 ) \vec{b} = (4, 1) b =(4,1)。
根据向量加法的定义， a ⃗ + b ⃗ = ( 2 + 4 , 3 + 1 ) = ( 6 , 4 ) \vec{a} + \vec{b} = (2+4, 3+1) = (6, 4) a +b =(2+4,3+1)=(6,4)。
2. 向量减法
例子：
继续使用上面的向量 a ⃗ = ( 2 , 3 ) \vec{a} = (2, 3) a =(2,3) 和 b ⃗ = ( 4 , 1 ) \vec{b} = (4, 1) b =(4,1)。
根据向量减法的定义， a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) = ( 2 , 3 ) + ( − 4 , − 1 ) = ( 2 − 4 , 3 − 1 ) = ( − 2 , 2 ) \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = (2, 3) + (-4, -1) = (2-4, 3-1) = (-2, 2) a −b =a +(−b )=(2,3)+(−4,−1)=(2−4,3−1)=(−2,2)。
3. 数乘（标量乘法）
例子：
设有一个二维向量 c ⃗ = ( 1 , − 2 ) \vec{c} = (1, -2) c =(1,−2) 和一个标量 k = 3 k = 3 k=3。
根据数乘的定义， k c ⃗ = 3 ( 1 , − 2 ) = ( 3 × 1 , 3 × − 2 ) = ( 3 , − 6 ) k\vec{c} = 3(1, -2) = (3 \times 1, 3 \times -2) = (3, -6) kc =3(1,−2)=(3×1,3×−2)=(3,−6)。
4. 数量积（点积或内积）
例子：
设有两个二维向量 d ⃗ = ( 2 , 3 ) \vec{d} = (2, 3) d =(2,3) 和 e ⃗ = ( 1 , 4 ) \vec{e} = (1, 4) e =(1,4)。
首先，计算这两个向量之间的夹角 θ \theta θ 的余弦值（虽然在这个例子中我们不需要真正计算出 θ \theta θ
的值）。但我们可以直接利用数量积的公式：
d ⃗ ⋅ e ⃗ = 2 × 1 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 \vec{d} \cdot \vec{e} = 2 \times 1 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 d ⋅e =2×1+3×4=2+12=14
注意，数量积的结果是一个标量，而不是向量。它表示了这两个向量在它们共同方向上的"投影长度"的乘积。
以上就是向量四则运算的例子。希望这些例子能帮助你更好地理解向量的基本运算。
- 数轴是一条直线，直线上的点与数之间为一一对应关系。
- 笛卡尔直角坐标系
- 平面上的坐标系 x O y xOy xOy让平面与有充实数对(x,y)建立一一对应关系 。
- 象限：
- 坐标变换
- 平面上某点可对应于多个不同坐标系和不同的坐标
- 坐标系 x ′ O ′ y ′ 坐标系x'O'y' 坐标系x′O′y′由坐标系统 x O y xOy xOy经过两种运动后得到的$。
( 1 ) 坐标轴方向不变，轴平移。原点移动： O → O ′ , x O y → x ′ ′ O ′ Y ′ ′ (1) 坐标轴方向不变，轴平移。原点移动：O\rightarrow O' ,xOy \rightarrow x''O'Y'' (1)坐标轴方向不变，轴平移。原点移动：O→O′,xOy→x′′O′Y′′，
( 2 ) 原点不动，坐标轴旋转， x ′ ′ O ′ y ′ ′ → x ′ O ′ y ′ (2) 原点不动，坐标轴旋转，x''O'y''\rightarrow x'O'y' (2)原点不动，坐标轴旋转，x′′O′y′′→x′O′y′
( 3 ) 上面的两种变换，先后顺序不影响最后结果，可以先旋转再平移，也可反过来，等等 (3) 上面的两种变换，先后顺序不影响最后结果，可以先旋转再平移，也可反过来，等等 (3)上面的两种变换，先后顺序不影响最后结果，可以先旋转再平移，也可反过来，等等。 - 轴平移
新坐标 x ′ O ′ y ′ ，原坐标 x O y a 、 b 表示 O ′ 在原坐标系的位置。 旧坐标表示新坐标： x ′ = x − a , y ′ = y − b 新坐标表示旧坐标： x = x ′ + a , y = y ′ + b 新坐标x'O'y'，原坐标xOy \\a、b表示O'在原坐标系的位置。 \\旧坐标表示新坐标：x'=x-a,y'=y-b \\新坐标表示旧坐标：x=x'+a,y=y'+b 新坐标x′O′y′，原坐标xOya、b表示O′在原坐标系的位置。旧坐标表示新坐标：x′=x−a,y′=y−b新坐标表示旧坐标：x=x′+a,y=y′+b - 轴平移旋转
新坐标 x ′ O ′ y ′ ，原坐标 x O y a 、 b 表示 O ′ 在原坐标系的位置。 O 不动，两轴旋转 a 角 旧坐标表示新坐标： x ′ = x c o s a + y s i n a y ′ = − x s i n a + y c o s a 新坐标表示旧坐标： x = x ′ c o s a − y ′ s i n a y = x ′ s i n a + y ′ c o s a 新坐标x'O'y'，原坐标xOy \\a、b表示O'在原坐标系的位置。 \\O不动，两轴旋转a角 \\旧坐标表示新坐标： \\x'=xcosa+ysina \\y'=-xsina+ycosa \\新坐标表示旧坐标： \\x=x'cosa-y'sina \\y=x'sina+y'cosa 新坐标x′O′y′，原坐标xOya、b表示O′在原坐标系的位置。O不动，两轴旋转a角旧坐标表示新坐标：x′=xcosa+ysinay′=−xsina+ycosa新坐标表示旧坐标：x=x′cosa−y′sinay=x′sina+y′cosa
- 两点距离
两点间的距离是几何学中的一个基本概念，它表示两个点之间的直线距离。
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在二维平面上，我们通常使用直角坐标系来表示点，其中每个点由一对坐标（x, y）确定。
假设有两个点 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1, y_1) A(x1,y1) 和 B ( x 2 , y 2 ) B(x_2, y_2) B(x2,y2)，则这两点间的距离 d d d 可以用以下公式计算：
d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
这个公式来源于勾股定理，即将两点间的线段视为直角三角形的斜边，而 x 2 − x 1 x_2 - x_1 x2−x1 和 y 2 − y 1 y_2 - y_1 y2−y1
则分别是这个直角三角形的两条直角边的长度。
示例
假设有两个点 A ( 3 , 4 ) A(3, 4) A(3,4) 和 B ( 7 , 1 ) B(7, 1) B(7,1)，我们需要计算这两点间的距离。
- 首先，确定两个点的坐标： x 1 = 3 , y 1 = 4 , x 2 = 7 , y 2 = 1 x_1 = 3, y_1 = 4, x_2 = 7, y_2 = 1 x1=3,y1=4,x2=7,y2=1。
- 然后，将这些值代入距离公式中：
d = ( 7 − 3 ) 2 + ( 1 − 4 ) 2 d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2} d=(7−3)2+(1−4)2
d = 4 2 + ( − 3 ) 2 d = \sqrt{4^2 + (-3)^2} d=42+(−3)2
d = 16 + 9 d = \sqrt{16 + 9} d=16+9
d = 25 d = \sqrt{25} d=25
d = 5 d = 5 d=5
因此，点 A ( 3 , 4 ) A(3, 4) A(3,4) 和点 B ( 7 , 1 ) B(7, 1) B(7,1) 之间的距离是 5 个单位长度。
前面是平面2维的公式，n维空间距离公式如下：
在n维空间中，点之间的距离的计算与二维或三维空间中的计算类似，但涉及更多的坐标轴。假设有两个n维空间中的点 P ( x 1 , x 2 , ... , x n ) P(x_1, x_2, \ldots, x_n) P(x1,x2,...,xn) 和 Q ( y 1 , y 2 , ... , y n ) Q(y_1, y_2, \ldots, y_n) Q(y1,y2,...,yn)，则这两点间的距离 d d d 可以用以下公式计算：
d = ( y 1 − x 1 ) 2 + ( y 2 − x 2 ) 2 + ⋯ + ( y n − x n ) 2 d = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + \cdots + (y_n - x_n)^2} d=(y1−x1)2+(y2−x2)2+⋯+(yn−xn)2
这个公式是欧几里得距离（Euclidean distance）在n维空间中的推广。它表示两点之间的直线距离，即连接这两点的线段的长度。
示例
假设有两个3维空间中的点 P ( 1 , 2 , 3 ) P(1, 2, 3) P(1,2,3) 和 Q ( 4 , 5 , 6 ) Q(4, 5, 6) Q(4,5,6)，我们需要计算这两点间的距离。
首先，确定两个点的坐标： x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 , y 1 = 4 , y 2 = 5 , y 3 = 6 x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, y_1 = 4, y_2 = 5, y_3 = 6 x1=1,x2=2,x3=3,y1=4,y2=5,y3=6。
然后，将这些值代入n维空间中的距离公式中：
d = ( 4 − 1 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 + ( 6 − 3 ) 2 d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2} d=(4−1)2+(5−2)2+(6−3)2
d = 3 2 + 3 2 + 3 2 d = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} d=32+32+32
d = 9 + 9 + 9 d = \sqrt{9 + 9 + 9} d=9+9+9
d = 27 d = \sqrt{27} d=27
d = 3 3 d = 3\sqrt{3} d=33
因此，点 P ( 1 , 2 , 3 ) P(1, 2, 3) P(1,2,3) 和点 Q ( 4 , 5 , 6 ) Q(4, 5, 6) Q(4,5,6) 之间的距离是 3 3 3\sqrt{3} 33 个单位长度。
在n维空间中，无论n的值是多少，距离的计算都遵循上述公式，只是需要考虑更多的坐标轴。
参考文献
1.《高等数学讲义》
2.文心一言