Title: [笔记] 仿射变换性质的代数证明
文章目录
- [I. 仿射变换的代数表示](#I. 仿射变换的代数表示)
- [II. 仿射变换的性质](#II. 仿射变换的性质)
- [III. 同素性的代数证明](#III. 同素性的代数证明)
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- [1. 点变换为点](#1. 点变换为点)
- [2. 直线变换为直线](#2. 直线变换为直线)
- [IV. 结合性的代数证明](#IV. 结合性的代数证明)
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- [1. 直线上一点映射为直线上一点](#1. 直线上一点映射为直线上一点)
- [2. 直线外一点映射为直线外一点](#2. 直线外一点映射为直线外一点)
- [V. 保持单比的代数证明](#V. 保持单比的代数证明)
- [VI. 平行性的代数证明](#VI. 平行性的代数证明)
- 参考文献
I. 仿射变换的代数表示
平面上点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 经过仿射变换 T T T 变为点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x', y') P′(x′,y′), 则两点坐标 ( x , y ) (x,y ) (x,y) 和 ( x ′ , y ′ ) (x', y') (x′,y′) 之间的关系即为仿射变换的代数表示. 需注意仿射坐标系不一定是直角坐标系.
平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表示为
{ x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 (I-1) \left\{ \begin{aligned} x' = a_{11} x + a_{12} y + a_{13}\\ y' = a_{21} x + a_{22} y + a_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-1} {x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23(I-1)
其中
Δ = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ≠ 0 (I-2) \Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-2} Δ= a11a21a12a22 =0(I-2)
也就是仿射变换是可逆变换, 其逆变换可以写成
{ x = a 11 ′ x ′ + a 12 ′ y ′ + a 13 ′ y = a 21 ′ x ′ + a 22 ′ y ′ + a 23 ′ (I-3) \left\{ \begin{aligned} x = a'{11} x' + a'{12} y' + a'{13}\\ y = a'{21} x' + a'{22} y' + a'{23} \end{aligned} \right. \tag{I-3} {x=a11′x′+a12′y′+a13′y=a21′x′+a22′y′+a23′(I-3)
其中
Δ ′ = ∣ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (I-4) \Delta' = \left|\begin{matrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-4} Δ′= a11′a21′a12′a22′ =0(I-4)
可知
a 11 a 12 a 21 a 22 \] \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] = \[ 1 0 0 1 \] (I-5) \\begin{bmatrix}a_{11} \&a_{12} \\\\ a_{21} \& a_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}1 \&0 \\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\tag{I-5} \[a11a21a12a22\]\[a11′a21′a12′a22′\]=\[1001\](I-5) 及 \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 11 a 12 a 21 a 22 \] = \[ 1 0 0 1 \] (I-6) \\begin{bmatrix}a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a_{11} \&a_{12} \\\\ a_{21} \& a_{22}\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}1 \&0 \\\\ 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\tag{I-6} \[a11′a21′a12′a22′\]\[a11a21a12a22\]=\[1001\](I-6) *** ** * ** *** ## II. 仿射变换的性质 - 保持**同素性** (点变换为点, 直线变换为直线) - 保持**结合性** (点和直线的结合关系) - 保持共线三点的**单比**不变 - 保持直线的**平行性** *** ** * ** *** ## III. 同素性的代数证明 ### 1. 点变换为点 定义式 (I-1) 即是证明. *** ** * ** *** ### 2. 直线变换为直线 假设有一直线方程为 a x + b y + c = 0 (III-2-1) ax + by + c =0 \\tag{III-2-1} ax+by+c=0(III-2-1) 其中 a 2 + b 2 ≠ 0 a\^2 + b\^2 \\neq 0 a2+b2=0. 在仿射变换下有式 (I-3), 代入式 (III-2-1) 得到 a ( a 11 ′ x ′ + a 12 ′ y ′ + a 13 ′ ) + b ( a 21 ′ x ′ + a 22 ′ y ′ + a 23 ′ ) + c = 0 ⇒ ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = 0 (III-2-2) \\begin{aligned} a(a'_{11} x' + a'_{12} y' + a'_{13}) + b(a'_{21} x' + a'_{22} y' + a'_{23}) + c =0\\\\ \\Rightarrow \\quad (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c) = 0 \\end{aligned} \\tag{III-2-2} a(a11′x′+a12′y′+a13′)+b(a21′x′+a22′y′+a23′)+c=0⇒(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c)=0(III-2-2) 另外, 由仿射变换的可逆性质式 (I-3) 可知 ∣ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (III-2-3) \\left\|\\begin{matrix} a'_{11} \&a'_{21} \\\\ a'_{12} \&a'_{22} \\end{matrix} \\right\| \\neq 0 \\tag{III-2-3} a11′a12′a21′a22′ =0(III-2-3) 则使得下式 \[ a a 11 ′ + b a 21 ′ a a 12 ′ + b a 22 ′ \] = \[ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ \] \[ a b \] = \[ 0 0 \] (III-2-4) \\begin{bmatrix}a a'_{11}+ b a'_{21} \\\\ aa'_{12} + b a'_{22} \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} a'_{11} \&a'_{21} \\\\ a'_{12} \&a'_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a\\\\b \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0\\\\0 \\end{bmatrix} \\tag{III-2-4} \[aa11′+ba21′aa12′+ba22′\]=\[a11′a12′a21′a22′\]\[ab\]=\[00\](III-2-4) 成立的解仅为 ( a , b ) = ( 0 , 0 ) (a, b) = (0, 0) (a,b)=(0,0), 但与条件矛盾. 故 ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) (a a'_{11}+ b a'_{21}) (aa11′+ba21′) 与 ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) (aa'_{12} + b a'_{22}) (aa12′+ba22′) 不能同时为零. 即式 (III-2-2) 中变量 x ′ x' x′ 和 y ′ y' y′ 前的系数满足 ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) 2 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) 2 ≠ 0 (III-2-5) (a a'_{11}+ b a'_{21})\^2 + (aa'_{12} + b a'_{22})\^2 \\neq 0 \\tag{III-2-5} (aa11′+ba21′)2+(aa12′+ba22′)2=0(III-2-5) 即式 (III-2-2) 必然为直线方程. 所以直线方程经过仿射变换后仍然为直线方程, 直线经过仿射变换后仍为直线. *** ** * ** *** ## IV. 结合性的代数证明 ### 1. 直线上一点映射为直线上一点 已知一点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 在直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 上 ⟺ \\Longleftrightarrow ⟺ 满足 a x 1 + b y 1 + c = 0 ax_1 +by_1 +c =0 ax1+by1+c=0. 下面证明仿射变换后的新点在仿射变换后的新直线上. 点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到新点 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x'_1, y'_1) (x1′,y1′) { x 1 ′ = a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 y 1 ′ = a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 (IV-1-1) \\left\\{ \\begin{aligned} x'_1 = a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13}\\\\ y'_1 = a_{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23} \\end{aligned} \\right. \\tag{IV-1-1} {x1′=a11x1+a12y1+a13y1′=a21x1+a22y1+a23(IV-1-1) 由同素性式 (III-2-2), 直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 经过仿射变换后得到新的直线方程 ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = 0 (IV-1-2) (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c) = 0 \\tag{IV-1-2} (aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c)=0(IV-1-2) 将仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 代入上式的左侧得到 LHS = ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) ( a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 ) ‾ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) ( a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 ) ‾ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 11 x 1 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 21 x 1 + ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 12 y 1 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 22 y 1 + ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 13 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 23 + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = ( a a 11 ′ a 11 + a a 12 ′ a 21 + b a 21 ′ a 11 + b a 22 ′ a 21 ) x 1 + ( a a 11 ′ a 12 + a a 12 ′ a 22 + b a 21 ′ a 12 + b a 22 ′ a 22 ) y 1 + ( a a 11 ′ a 13 + a a 12 ′ a 23 + a a 13 ′ + b a 21 ′ a 13 + b a 22 ′ a 23 + b a 23 ′ ) + c = \[ a b \] \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 11 a 21 \] x 1 + \[ a b \] \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 12 a 22 \] y 1 + \[ a b \] { \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 13 a 23 \] + \[ a 13 ′ a 23 ′ \] } + c (IV-1-3) \\begin{aligned} \\text{LHS}\\ =\\ \&(a a'_{11}+ b a'_{21})\\underline{(a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})} + (aa'_{12} + b a'_{22}) \\underline{(a_{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23})} + (a a'_{13} + b a'_{23} +c)\\\\ =\\ \& (a a'_{11}+ b a'_{21})a_{11} x_1 + (aa'_{12} + b a'_{22}) a_{21} x_1 \\\\ {+} \& (a a'_{11}+ b a'_{21}) a_{12} y_1 +(aa'_{12} + b a'_{22}) a_{22} y_1 \\\\ {+}\& (a a'_{11}+ b a'_{21}) a_{13} + (aa'_{12} + b a'_{22}) a_{23} + (a a'_{13} + b a'_{23} +c)\\\\ =\\ \& (a a'_{11}a_{11}+ aa'_{12} a_{21} + b a'_{21}a_{11} + b a'_{22} a_{21}) x_1 \\\\ {+}\& (a a'_{11}a_{12}+ a a'_{12} a_{22} + b a'_{21} a_{12} + b a'_{22} a_{22}) y_1\\\\ {+}\& (a a'_{11} a_{13}+ aa'_{12} a_{23} + a a'_{13} + b a'_{21} a_{13} + b a'_{22} a_{23} + b a'_{23}) \\\\ +\& c\\\\ =\\ \& \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_{11} \\\\ a_{21}\\end{bmatrix} x_1 \\\\ {+}\& \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_{12} \\\\ a_{22}\\end{bmatrix} y_1 \\\\ {+}\& \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\left\\{\\begin{bmatrix} a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_{13} \\\\ a_{23}\\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} a'_{13} \\\\ a'_{23}\\end{bmatrix}\\right\\} \\\\ {+}\& c \\end{aligned} \\tag{IV-1-3} LHS = = ++= +++= +++(aa11′+ba21′)(a11x1+a12y1+a13)+(aa12′+ba22′)(a21x1+a22y1+a23)+(aa13′+ba23′+c)(aa11′+ba21′)a11x1+(aa12′+ba22′)a21x1(aa11′+ba21′)a12y1+(aa12′+ba22′)a22y1(aa11′+ba21′)a13+(aa12′+ba22′)a23+(aa13′+ba23′+c)(aa11′a11+aa12′a21+ba21′a11+ba22′a21)x1(aa11′a12+aa12′a22+ba21′a12+ba22′a22)y1(aa11′a13+aa12′a23+aa13′+ba21′a13+ba22′a23+ba23′)c\[ab\]\[a11′a21′a12′a22′\]\[a11a21\]x1\[ab\]\[a11′a21′a12′a22′\]\[a12a22\]y1\[ab\]{\[a11′a21′a12′a22′\]\[a13a23\]+\[a13′a23′\]}c(IV-1-3) 由式 (I-6) 可知 \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 11 a 21 \] = \[ 1 0 \] (IV-1-4) \\begin{bmatrix}a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a_{11} \\\\ a_{21} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\tag{IV-1-4} \[a11′a21′a12′a22′\]\[a11a21\]=\[10\](IV-1-4) 和 \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 12 a 22 \] = \[ 0 1 \] (IV-1-5) \\begin{bmatrix}a'_{11} \&a'_{12} \\\\ a'_{21} \& a'_{22}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a_{12} \\\\ a_{22}\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\tag{IV-1-5} \[a11′a21′a12′a22′\]\[a12a22\]=\[01\](IV-1-5) 由仿射变换式 (I-1) 可知原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的像为 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23), 即 { x o ′ = a 11 0 + a 12 0 + a 13 = a 13 y o ′ = a 21 0 + a 22 0 + a 23 = a 23 (IV-1-6) \\left\\{ \\begin{aligned} x'_{o} = a_{11} 0 + a_{12} 0 + a_{13} = a_{13}\\\\ y'_{o} = a_{21} 0 + a_{22} 0 + a_{23} = a_{23} \\end{aligned} \\right. \\tag{IV-1-6} {xo′=a110+a120+a13=a13yo′=a210+a220+a23=a23(IV-1-6) 相反地, 原点的像 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23) 经过仿射变换逆映射式 (I-3) 后回到原点, 即 { 0 = a 11 ′ a 13 + a 12 ′ a 23 + a 13 ′ 0 = a 21 ′ a 13 + a 22 ′ a 23 + a 23 ′ (IV-1-7) \\left\\{ \\begin{aligned} 0 = a'_{11} a_{13} + a'_{12} a_{23} + a'_{13}\\\\ 0 = a'_{21} a_{13} + a'_{22} a_{23} + a'_{23} \\end{aligned} \\right. \\tag{IV-1-7} {0=a11′a13+a12′a23+a13′0=a21′a13+a22′a23+a23′(IV-1-7) 上式写成矩阵形式为 \[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ \] \[ a 13 a 23 \] + \[ a 13 ′ a 23 ′ \] = \[ 0 0 \] (IV-1-8) \\begin{bmatrix}a'_{11} \& a'_{12}\\\\a'_{21} \&a'_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}a_{13} \\\\ a_{23} \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix}a'_{13} \\\\ a'_{23} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0 \\\\0 \\end{bmatrix} \\tag{IV-1-8} \[a11′a21′a12′a22′\]\[a13a23\]+\[a13′a23′\]=\[00\](IV-1-8) 将式 (IV-1-4)、(IV-1-5)、(IV-1-8) 代入式 (IV-1-3), 即仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 左侧为 LHS = \[ a b \] \[ 1 0 \] x 1 + \[ a b \] \[ 0 1 \] y 1 + \[ a b \] \[ 0 0 \] + c = a x 1 + b y 1 + c = 0 (IV-1-9) \\begin{aligned} \\text{LHS}\\ =\\ \& \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0\\end{bmatrix} x_1 {+} \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1\\end{bmatrix} y_1 {+} \\begin{bmatrix} a \&b\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0\\end{bmatrix} {+} c\\\\ =\\ \& a x_1 {+} b y_1 {+} c\\\\ = \\ \&0 \\end{aligned} \\tag{IV-1-9} LHS = = = \[ab\]\[10\]x1+\[ab\]\[01\]y1+\[ab\]\[00\]+cax1+by1+c0(IV-1-9) 也就是说, 点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到的**新点** ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x'_1, y'_1) (x1′,y1′) **满足** 直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 进过仿射变换后得到的**新直线方程式** (IV-1-2). 即直线上一点经过仿射变换后仍然在经过仿射变换后的直线上. *** ** * ** *** ### 2. 直线外一点映射为直线外一点 如果存在仿射变换 φ \\varphi φ 可以将直线 l l l 外一点 P P P 映射为直线 l ′ l' l′ 上一点 P ′ P' P′, 即 φ : l ↦ l ′ φ : P ↦ P ′ P ∉ l , P ′ ∈ l ′ (IV-2-1) \\varphi:l \\mapsto l'\\\\ \\varphi:P \\mapsto P' \\\\ P \\notin l, P' \\in l'\\tag{IV-2-1} φ:l↦l′φ:P↦P′P∈/l,P′∈l′(IV-2-1) 因为仿射变换的逆变换仍然是仿射变换, 即 φ − 1 \\varphi\^{-1} φ−1 仍然是仿射变换. 由已证明的 "直线上一点映射为直线上一点", 可知经过逆仿射变换 φ − 1 \\varphi\^{-1} φ−1, 直线 l ′ l' l′ 上点 P ′ P' P′ 映射为直线 l l l 上点 P P P. 即已知像点 P ′ P' P′ 在直线 l ′ l' l′ 上时, 原像点 P P P 必在直线 l l l 上. 假设矛盾, 证毕. *** ** * ** *** ## V. 保持单比的代数证明 共线三点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)、 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1)、 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2) 的单比为 ( P 1 P 2 P ) = x − x 1 x − x 2 = y − y 1 y − y 2 = k (V-1) (P_1 P_2 P) = \\frac{x-x_1}{x - x_2}=\\frac{y-y_1}{y-y_2}=k \\tag{V-1} (P1P2P)=x−x2x−x1=y−y2y−y1=k(V-1) 即 x − x 1 = k ( x − x 2 ) y − y 1 = k ( y − y 2 ) (V-2) {x-x_1}= k(x - x_2)\\\\ {y-y_1}= k(y-y_2) \\tag{V-2} x−x1=k(x−x2)y−y1=k(y−y2)(V-2) 经过仿射变换后得到 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x',y') P′(x′,y′)、 P 1 ′ ( x 1 ′ , y 1 ′ ) P'_1(x'_1, y'_1) P1′(x1′,y1′)、 P 2 ′ ( x 2 ′ , y 2 ′ ) P'_2(x'_2, y'_2) P2′(x2′,y2′). 由仿射变换的结合性可知, P ′ P' P′、 P 1 ′ P'_1 P1′、 P 2 ′ P'_2 P2′ 三点仍然共线. 共线三点可计算单比 ( P 1 ′ P 2 ′ P ′ ) = x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ = y ′ − y 1 ′ y ′ − y 2 ′ = k ′ (V-3) (P'_1 P'_2 P') = \\frac{x'-x'_1}{x' - x'_2}=\\frac{y'-y'_1}{y'-y'_2}=k' \\tag{V-3} (P1′P2′P′)=x′−x2′x′−x1′=y′−y2′y′−y1′=k′(V-3) 由仿射变换式 (I-1) 并结合式 (V-2), 可知 k ′ = x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 − ( a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 ) a 11 x + a 12 y + a 13 − ( a 11 x 2 + a 12 y 2 + a 13 ) = a 11 ( x − x 1 ) + a 12 ( y − y 1 ) a 11 ( x − x 2 ) + a 12 ( y − y 2 ) = k a 11 ( x − x 2 ) + k a 12 ( y − y 2 ) a 11 ( x − x 2 ) + a 12 ( y − y 2 ) = k (V-4) \\begin{aligned} k' \&= \\frac{x'-x'_1}{x' - x'_2} \\\\ \&= \\frac{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} - (a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})}{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} - (a_{11} x_2 + a_{12} y_2 + a_{13})}\\\\ \&= \\frac{a_{11} (x-x_1) + a_{12} (y-y_1)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\\\ \&= \\frac{k a_{11} (x-x_2) + k a_{12} (y-y_2)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\\\ \&= k \\end{aligned}\\tag{V-4} k′=x′−x2′x′−x1′=a11x+a12y+a13−(a11x2+a12y2+a13)a11x+a12y+a13−(a11x1+a12y1+a13)=a11(x−x2)+a12(y−y2)a11(x−x1)+a12(y−y1)=a11(x−x2)+a12(y−y2)ka11(x−x2)+ka12(y−y2)=k(V-4) 即单比保持不变. *** ** * ** *** ## VI. 平行性的代数证明 已知两条直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 平行, 则该两条直线的方程可写为 { l 1 : a x + b y + c 1 = 0 l 2 : a x + b y + c 2 = 0 (VI-1) \\left\\{ \\begin{aligned} l_1: ax+by+c_1=0\\\\ l_2: ax+by+c_2=0 \\end{aligned} \\right. \\tag{VI-1} {l1:ax+by+c1=0l2:ax+by+c2=0(VI-1) 其中 c 1 ≠ c 2 c_1 \\neq c_2 c1=c2. (注意仿射坐标系不一定为直角坐标系) 由同素性证明中式 (III-1-2) , 直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 经过仿射变换的方程式分别为 l 1 ′ : ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 1 ) = 0 l 2 ′ : ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 2 ) = 0 l'_1: (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c_1) = 0\\\\ l'_2: (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c_2) = 0 l1′:(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c1)=0l2′:(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c2)=0 其中 a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 1 ≠ a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 2 a a'_{13} + b a'_{23} +c_1 \\neq a a'_{13} + b a'_{23} +c_2 aa13′+ba23′+c1=aa13′+ba23′+c2, 而两者的方向数相同. 可知经过仿射变换后 l 1 ′ l'_1 l1′ 和 l 2 ′ l'_2 l2′ 仍然平行. *** ** * ** *** ## 参考文献 \[1\] 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 王智秋, 高等几何(第四版), 高等教育出版社, 2020 *** ** * ** *** 版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/woyaomaishu2/article/details/142771571 本文作者：wzf@robotics_notes *** ** * ** ***