[笔记] 仿射变换性质的代数证明

Title: [笔记] 仿射变换性质的代数证明

文章目录

[I. 仿射变换的代数表示](#I. 仿射变换的代数表示)
[II. 仿射变换的性质](#II. 仿射变换的性质)
[III. 同素性的代数证明](#III. 同素性的代数证明)
- [1. 点变换为点](#1. 点变换为点)
- [2. 直线变换为直线](#2. 直线变换为直线)
[IV. 结合性的代数证明](#IV. 结合性的代数证明)
- [1. 直线上一点映射为直线上一点](#1. 直线上一点映射为直线上一点)
- [2. 直线外一点映射为直线外一点](#2. 直线外一点映射为直线外一点)
[V. 保持单比的代数证明](#V. 保持单比的代数证明)
[VI. 平行性的代数证明](#VI. 平行性的代数证明)
参考文献

I. 仿射变换的代数表示

平面上点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 经过仿射变换 T T T 变为点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x', y') P′(x′,y′), 则两点坐标 ( x , y ) (x,y ) (x,y) 和 ( x ′ , y ′ ) (x', y') (x′,y′) 之间的关系即为仿射变换的代数表示. 需注意仿射坐标系不一定是直角坐标系.

平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表示为
{ x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 (I-1) \left\{ \begin{aligned} x' = a_{11} x + a_{12} y + a_{13}\\ y' = a_{21} x + a_{22} y + a_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-1} {x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23(I-1)

其中
Δ = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ≠ 0 (I-2) \Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-2} Δ= a11a21a12a22 =0(I-2)

也就是仿射变换是可逆变换, 其逆变换可以写成
{ x = a 11 ′ x ′ + a 12 ′ y ′ + a 13 ′ y = a 21 ′ x ′ + a 22 ′ y ′ + a 23 ′ (I-3) \left\{ \begin{aligned} x = a'{11} x' + a'{12} y' + a'{13}\\ y = a'{21} x' + a'{22} y' + a'{23} \end{aligned} \right. \tag{I-3} {x=a11′x′+a12′y′+a13′y=a21′x′+a22′y′+a23′(I-3)

其中
Δ ′ = ∣ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (I-4) \Delta' = \left|\begin{matrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-4} Δ′= a11′a21′a12′a22′ =0(I-4)

可知
[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] = [ 1 0 0 1 ] (I-5) \begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{I-5} [a11a21a12a22][a11′a21′a12′a22′]=[1001](I-5)

及
[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = [ 1 0 0 1 ] (I-6) \begin{bmatrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{I-6} [a11′a21′a12′a22′][a11a21a12a22]=[1001](I-6)

II. 仿射变换的性质

保持同素性 (点变换为点, 直线变换为直线)
保持结合性 (点和直线的结合关系)
保持共线三点的单比不变
保持直线的平行性

III. 同素性的代数证明

1. 点变换为点

定义式 (I-1) 即是证明.

2. 直线变换为直线

假设有一直线方程为
a x + b y + c = 0 (III-2-1) ax + by + c =0 \tag{III-2-1} ax+by+c=0(III-2-1)

其中 a 2 + b 2 ≠ 0 a^2 + b^2 \neq 0 a2+b2=0.

在仿射变换下有式 (I-3), 代入式 (III-2-1) 得到
a ( a 11 ′ x ′ + a 12 ′ y ′ + a 13 ′ ) + b ( a 21 ′ x ′ + a 22 ′ y ′ + a 23 ′ ) + c = 0 ⇒ ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = 0 (III-2-2) \begin{aligned} a(a'{11} x' + a'{12} y' + a'{13}) + b(a'{21} x' + a'{22} y' + a'{23}) + c =0\\ \Rightarrow \quad (a a'{11}+ b a'{21}) x' + (aa'{12} + b a'{22}) y' +(a a'{13} + b a'{23} +c) = 0 \end{aligned} \tag{III-2-2} a(a11′x′+a12′y′+a13′)+b(a21′x′+a22′y′+a23′)+c=0⇒(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c)=0(III-2-2)

另外, 由仿射变换的可逆性质式 (I-3) 可知
∣ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ ∣ ≠ 0 (III-2-3) \left|\begin{matrix} a'{11} &a'{21} \\ a'{12} &a'{22} \end{matrix} \right| \neq 0 \tag{III-2-3} a11′a12′a21′a22′ =0(III-2-3)

则使得下式
[ a a 11 ′ + b a 21 ′ a a 12 ′ + b a 22 ′ ] = [ a 11 ′ a 21 ′ a 12 ′ a 22 ′ ] [ a b ] = [ 0 0 ] (III-2-4) \begin{bmatrix}a a'{11}+ b a'{21} \\ aa'{12} + b a'{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a'{11} &a'{21} \\ a'{12} &a'{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix} \tag{III-2-4} [aa11′+ba21′aa12′+ba22′]=[a11′a12′a21′a22′][ab]=[00](III-2-4)

成立的解仅为 ( a , b ) = ( 0 , 0 ) (a, b) = (0, 0) (a,b)=(0,0), 但与条件矛盾. 故 ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) (a a'{11}+ b a'{21}) (aa11′+ba21′) 与 ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) (aa'{12} + b a'{22}) (aa12′+ba22′) 不能同时为零.

即式 (III-2-2) 中变量 x ′ x' x′ 和 y ′ y' y′ 前的系数满足
( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) 2 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) 2 ≠ 0 (III-2-5) (a a'{11}+ b a'{21})^2 + (aa'{12} + b a'{22})^2 \neq 0 \tag{III-2-5} (aa11′+ba21′)2+(aa12′+ba22′)2=0(III-2-5)

即式 (III-2-2) 必然为直线方程. 所以直线方程经过仿射变换后仍然为直线方程, 直线经过仿射变换后仍为直线.

IV. 结合性的代数证明

1. 直线上一点映射为直线上一点

已知一点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 在直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 上 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 满足 a x 1 + b y 1 + c = 0 ax_1 +by_1 +c =0 ax1+by1+c=0.

下面证明仿射变换后的新点在仿射变换后的新直线上.

点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到新点 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x'1, y'1) (x1′,y1′)
{ x 1 ′ = a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 y 1 ′ = a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 (IV-1-1) \left\{ \begin{aligned} x'1 = a{11} x_1 + a{12} y_1 + a{13}\\ y'1 = a{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-1} {x1′=a11x1+a12y1+a13y1′=a21x1+a22y1+a23(IV-1-1)

由同素性式 (III-2-2), 直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 经过仿射变换后得到新的直线方程
( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = 0 (IV-1-2) (a a'{11}+ b a'{21}) x' + (aa'{12} + b a'{22}) y' +(a a'{13} + b a'{23} +c) = 0 \tag{IV-1-2} (aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c)=0(IV-1-2)

将仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 代入上式的左侧得到
LHS = ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) ( a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 ) ‾ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) ( a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 ) ‾ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 11 x 1 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 21 x 1 + ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 12 y 1 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 22 y 1 + ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) a 13 + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) a 23 + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c ) = ( a a 11 ′ a 11 + a a 12 ′ a 21 + b a 21 ′ a 11 + b a 22 ′ a 21 ) x 1 + ( a a 11 ′ a 12 + a a 12 ′ a 22 + b a 21 ′ a 12 + b a 22 ′ a 22 ) y 1 + ( a a 11 ′ a 13 + a a 12 ′ a 23 + a a 13 ′ + b a 21 ′ a 13 + b a 22 ′ a 23 + b a 23 ′ ) + c = [ a b ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 21 ] x 1 + [ a b ] [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 12 a 22 ] y 1 + [ a b ] { [ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 13 a 23 ] + [ a 13 ′ a 23 ′ ] } + c (IV-1-3) \begin{aligned} \text{LHS}\ =\ &(a a'{11}+ b a'{21})\underline{(a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})} + (aa'{12} + b a'{22}) \underline{(a_{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23})} + (a a'{13} + b a'{23} +c)\\ =\ & (a a'{11}+ b a'{21})a_{11} x_1 + (aa'{12} + b a'{22}) a_{21} x_1 \\ {+} & (a a'{11}+ b a'{21}) a_{12} y_1 +(aa'{12} + b a'{22}) a_{22} y_1 \\ {+}& (a a'{11}+ b a'{21}) a_{13} + (aa'{12} + b a'{22}) a_{23} + (a a'{13} + b a'{23} +c)\\ =\ & (a a'{11}a{11}+ aa'{12} a{21} + b a'{21}a{11} + b a'{22} a{21}) x_1 \\ {+}& (a a'{11}a{12}+ a a'{12} a{22} + b a'{21} a{12} + b a'{22} a{22}) y_1\\ {+}& (a a'{11} a{13}+ aa'{12} a{23} + a a'{13} + b a'{21} a_{13} + b a'{22} a{23} + b a'{23}) \\ +& c\\ =\ & \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a{11} \\ a_{21}\end{bmatrix} x_1 \\ {+}& \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} y_1 \\ {+}& \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \left\{\begin{bmatrix} a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a'{13} \\ a'{23}\end{bmatrix}\right\} \\ {+}& c \end{aligned} \tag{IV-1-3} LHS = = ++= +++= +++(aa11′+ba21′)(a11x1+a12y1+a13)+(aa12′+ba22′)(a21x1+a22y1+a23)+(aa13′+ba23′+c)(aa11′+ba21′)a11x1+(aa12′+ba22′)a21x1(aa11′+ba21′)a12y1+(aa12′+ba22′)a22y1(aa11′+ba21′)a13+(aa12′+ba22′)a23+(aa13′+ba23′+c)(aa11′a11+aa12′a21+ba21′a11+ba22′a21)x1(aa11′a12+aa12′a22+ba21′a12+ba22′a22)y1(aa11′a13+aa12′a23+aa13′+ba21′a13+ba22′a23+ba23′)c[ab][a11′a21′a12′a22′][a11a21]x1[ab][a11′a21′a12′a22′][a12a22]y1[ab]{[a11′a21′a12′a22′][a13a23]+[a13′a23′]}c(IV-1-3)

由式 (I-6) 可知
[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 11 a 21 ] = [ 1 0 ] (IV-1-4) \begin{bmatrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-4} [a11′a21′a12′a22′][a11a21]=[10](IV-1-4)

和
[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 12 a 22 ] = [ 0 1 ] (IV-1-5) \begin{bmatrix}a'{11} &a'{12} \\ a'{21} & a'{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{IV-1-5} [a11′a21′a12′a22′][a12a22]=[01](IV-1-5)

由仿射变换式 (I-1) 可知原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的像为 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23), 即
{ x o ′ = a 11 0 + a 12 0 + a 13 = a 13 y o ′ = a 21 0 + a 22 0 + a 23 = a 23 (IV-1-6) \left\{ \begin{aligned} x'{o} = a{11} 0 + a_{12} 0 + a_{13} = a_{13}\\ y'{o} = a{21} 0 + a_{22} 0 + a_{23} = a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-6} {xo′=a110+a120+a13=a13yo′=a210+a220+a23=a23(IV-1-6)

相反地, 原点的像 ( a 13 , a 23 ) (a_{13}, a_{23}) (a13,a23) 经过仿射变换逆映射式 (I-3) 后回到原点, 即
{ 0 = a 11 ′ a 13 + a 12 ′ a 23 + a 13 ′ 0 = a 21 ′ a 13 + a 22 ′ a 23 + a 23 ′ (IV-1-7) \left\{ \begin{aligned} 0 = a'{11} a{13} + a'{12} a{23} + a'{13}\\ 0 = a'{21} a_{13} + a'{22} a{23} + a'_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-7} {0=a11′a13+a12′a23+a13′0=a21′a13+a22′a23+a23′(IV-1-7)

上式写成矩阵形式为
[ a 11 ′ a 12 ′ a 21 ′ a 22 ′ ] [ a 13 a 23 ] + [ a 13 ′ a 23 ′ ] = [ 0 0 ] (IV-1-8) \begin{bmatrix}a'{11} & a'{12}\\a'{21} &a'{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a'{13} \\ a'{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-8} [a11′a21′a12′a22′][a13a23]+[a13′a23′]=[00](IV-1-8)

将式 (IV-1-4)、(IV-1-5)、(IV-1-8) 代入式 (IV-1-3), 即仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 左侧为
LHS = [ a b ] [ 1 0 ] x 1 + [ a b ] [ 0 1 ] y 1 + [ a b ] [ 0 0 ] + c = a x 1 + b y 1 + c = 0 (IV-1-9) \begin{aligned} \text{LHS}\ =\ & \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} x_1 {+} \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} y_1 {+} \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix} {+} c\\ =\ & a x_1 {+} b y_1 {+} c\\ = \ &0 \end{aligned} \tag{IV-1-9} LHS = = = [ab][10]x1+[ab][01]y1+[ab][00]+cax1+by1+c0(IV-1-9)

也就是说, 点 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 经过仿射变换后得到的新点 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x'_1, y'_1) (x1′,y1′) 满足直线 a x + b y + c = 0 ax+by+c =0 ax+by+c=0 进过仿射变换后得到的新直线方程式 (IV-1-2).

即直线上一点经过仿射变换后仍然在经过仿射变换后的直线上.

2. 直线外一点映射为直线外一点

如果存在仿射变换 φ \varphi φ 可以将直线 l l l 外一点 P P P 映射为直线 l ′ l' l′ 上一点 P ′ P' P′, 即
φ : l ↦ l ′ φ : P ↦ P ′ P ∉ l , P ′ ∈ l ′ (IV-2-1) \varphi:l \mapsto l'\\ \varphi:P \mapsto P' \\ P \notin l, P' \in l'\tag{IV-2-1} φ:l↦l′φ:P↦P′P∈/l,P′∈l′(IV-2-1)

因为仿射变换的逆变换仍然是仿射变换, 即 φ − 1 \varphi^{-1} φ−1 仍然是仿射变换.

由已证明的 "直线上一点映射为直线上一点", 可知经过逆仿射变换 φ − 1 \varphi^{-1} φ−1, 直线 l ′ l' l′ 上点 P ′ P' P′ 映射为直线 l l l 上点 P P P.

即已知像点 P ′ P' P′ 在直线 l ′ l' l′ 上时, 原像点 P P P 必在直线 l l l 上.

假设矛盾, 证毕.

V. 保持单比的代数证明

共线三点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)、 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1)、 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2) 的单比为
( P 1 P 2 P ) = x − x 1 x − x 2 = y − y 1 y − y 2 = k (V-1) (P_1 P_2 P) = \frac{x-x_1}{x - x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}=k \tag{V-1} (P1P2P)=x−x2x−x1=y−y2y−y1=k(V-1)

即
x − x 1 = k ( x − x 2 ) y − y 1 = k ( y − y 2 ) (V-2) {x-x_1}= k(x - x_2)\\ {y-y_1}= k(y-y_2) \tag{V-2} x−x1=k(x−x2)y−y1=k(y−y2)(V-2)

经过仿射变换后得到 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x',y') P′(x′,y′)、 P 1 ′ ( x 1 ′ , y 1 ′ ) P'_1(x'_1, y'_1) P1′(x1′,y1′)、 P 2 ′ ( x 2 ′ , y 2 ′ ) P'_2(x'_2, y'_2) P2′(x2′,y2′). 由仿射变换的结合性可知, P ′ P' P′、 P 1 ′ P'_1 P1′、 P 2 ′ P'_2 P2′ 三点仍然共线. 共线三点可计算单比
( P 1 ′ P 2 ′ P ′ ) = x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ = y ′ − y 1 ′ y ′ − y 2 ′ = k ′ (V-3) (P'_1 P'_2 P') = \frac{x'-x'_1}{x' - x'_2}=\frac{y'-y'_1}{y'-y'_2}=k' \tag{V-3} (P1′P2′P′)=x′−x2′x′−x1′=y′−y2′y′−y1′=k′(V-3)

由仿射变换式 (I-1) 并结合式 (V-2), 可知
k ′ = x ′ − x 1 ′ x ′ − x 2 ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 − ( a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 ) a 11 x + a 12 y + a 13 − ( a 11 x 2 + a 12 y 2 + a 13 ) = a 11 ( x − x 1 ) + a 12 ( y − y 1 ) a 11 ( x − x 2 ) + a 12 ( y − y 2 ) = k a 11 ( x − x 2 ) + k a 12 ( y − y 2 ) a 11 ( x − x 2 ) + a 12 ( y − y 2 ) = k (V-4) \begin{aligned} k' &= \frac{x'-x'1}{x' - x'2} \\ &= \frac{a{11} x + a{12} y + a_{13} - (a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})}{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} - (a_{11} x_2 + a_{12} y_2 + a_{13})}\\ &= \frac{a_{11} (x-x_1) + a_{12} (y-y_1)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\ &= \frac{k a_{11} (x-x_2) + k a_{12} (y-y_2)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\ &= k \end{aligned}\tag{V-4} k′=x′−x2′x′−x1′=a11x+a12y+a13−(a11x2+a12y2+a13)a11x+a12y+a13−(a11x1+a12y1+a13)=a11(x−x2)+a12(y−y2)a11(x−x1)+a12(y−y1)=a11(x−x2)+a12(y−y2)ka11(x−x2)+ka12(y−y2)=k(V-4)

即单比保持不变.

VI. 平行性的代数证明

已知两条直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 平行, 则该两条直线的方程可写为
{ l 1 : a x + b y + c 1 = 0 l 2 : a x + b y + c 2 = 0 (VI-1) \left\{ \begin{aligned} l_1: ax+by+c_1=0\\ l_2: ax+by+c_2=0 \end{aligned} \right. \tag{VI-1} {l1:ax+by+c1=0l2:ax+by+c2=0(VI-1)

其中 c 1 ≠ c 2 c_1 \neq c_2 c1=c2. (注意仿射坐标系不一定为直角坐标系)

由同素性证明中式 (III-1-2) , 直线 l 1 l_1 l1 和 l 2 l_2 l2 经过仿射变换的方程式分别为
l 1 ′ : ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 1 ) = 0 l 2 ′ : ( a a 11 ′ + b a 21 ′ ) x ′ + ( a a 12 ′ + b a 22 ′ ) y ′ + ( a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 2 ) = 0 l'1: (a a'{11}+ b a'{21}) x' + (aa'{12} + b a'{22}) y' +(a a'{13} + b a'{23} +c_1) = 0\\ l'2: (a a'{11}+ b a'{21}) x' + (aa'{12} + b a'{22}) y' +(a a'{13} + b a'{23} +c_2) = 0 l1′:(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c1)=0l2′:(aa11′+ba21′)x′+(aa12′+ba22′)y′+(aa13′+ba23′+c2)=0

其中 a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 1 ≠ a a 13 ′ + b a 23 ′ + c 2 a a'{13} + b a'{23} +c_1 \neq a a'{13} + b a'{23} +c_2 aa13′+ba23′+c1=aa13′+ba23′+c2, 而两者的方向数相同.

可知经过仿射变换后 l 1 ′ l'_1 l1′ 和 l 2 ′ l'_2 l2′ 仍然平行.

参考文献

[1] 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 王智秋, 高等几何(第四版), 高等教育出版社, 2020

本文链接：https://blog.csdn.net/woyaomaishu2/article/details/142771571

本文作者：wzf@robotics_notes