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240. 搜索二维矩阵 II
题目描述
编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：
- 每行的元素从左到右升序排列。
- 每列的元素从上到下升序排列。
示例 1：
输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5
输出：true
示例 2：
输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20
输出：false
提示：
m == matrix.lengthn == matrix[i].length1 <= n, m <= 300-109 <= matrix[i][j] <= 109- 每行的所有元素从左到右升序排列
- 每列的所有元素从上到下升序排列
-109 <= target <= 109
题解
暴力算法直接遍历整个矩阵，时间复杂度为 O ( m n ) O(mn) O(mn) ， m 、 n m、n m、n 分别为矩阵的行、列数。
由于题中矩阵在行和列上的元素都是升序的，所以想到可以从上到下逐行利用二分查找解决：
cpp
class Solution {
public:
int binarySearch(const vector<int>& arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (arr[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else {
return mid;
}
}
return -1;
}
bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
if (matrix.empty()) {
return false;
}
// 逐行使用二分法查找target
for (const vector<int>& line : matrix) {
if (binarySearch(line, target) != -1) {
return true;
}
}
return false;
}
};行内 n n n 个元素做二分查找的时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn) ，共 m m m 行，故时间复杂度为 O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn) 。
不过上面两种方法似乎都过于直白简单了，考虑到这个题目带的是"中等"tag，肯定还有更高效的算法：
🔗 以下内容来自 LeetCode官方题解
我们可以从矩阵 matrix 的右上角 (0,n−1) 进行搜索。在每一步的搜索过程中，如果我们位于位置 (x,y) ，那么我们希望在以 matrix 的左下角为左下角、以 (x,y) 为右上角的矩阵中进行搜索，即行的范围为 [x,m−1] ，列的范围为 [0,y] ：
- 如果
matrix[x,y]=target，说明搜索完成 - 如果
matrix[x,y]>target，由于每一列的元素都是升序排列的，那么在当前的搜索矩阵中，所有位于第y列的元素都是严格大于target的，因此我们可以将它们全部忽略，即将y减少 1 - 如果
matrix[x,y]<target，由于每一行的元素都是升序排列的，那么在当前的搜索矩阵中，所有位于第x行的元素都是严格小于target的，因此我们可以将它们全部忽略，即将x增加 1。
在搜索的过程中，如果我们超出了矩阵的边界，那么说明矩阵中不存在 target 。代码实现如下：
cpp
class Solution {
public:
bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
int x = 0;
int y = matrix[0].size() - 1;
while (x < matrix.size() && y >= 0) {
if (matrix[x][y] < target) {
x++;
} else if (matrix[x][y] > target) {
y--;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
};时间复杂度： O ( m + n ) O(m+n) O(m+n) 。在搜索的过程中，如果我们没有找到 target ，那么我们要么将 y 减少 1，要么将 x 增加 1。由于 (x,y) 的初始值分别为 (0,n−1) ，因此 y 最多能被减少 n 次， x 最多能被增加 m 次，总搜索次数为 m+n 。在这之后， x 和 y 就会超出矩阵的边界。
148. 排序链表
题目描述
给你链表的头结点 head ，请将其按 升序 排列并返回 排序后的链表 。
示例 1：
输入：head = [4,2,1,3]
输出：[1,2,3,4]
示例 2：
输入：head = [-1,5,3,4,0]
输出：[-1,0,3,4,5]
示例 3：
输入：head = []
输出：[]
提示：
- 链表中节点的数目在范围
[0, 5 * 104]内 -105 <= Node.val <= 105
进阶： 你可以在 O(n log n) 时间复杂度和常数级空间复杂度下，对链表进行排序吗？
题解
暴力解法无需多言，遍历一遍链表获取全部元素、排序后重新整一个新链表即可：
cpp
struct ListNode
{
int val;
ListNode *next;
ListNode() : val(0), next(nullptr) {}
ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}
ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}
};
class Solution {
public:
ListNode* sortList(ListNode* head) {
vector<int> elements;
while (head)
{
elements.push_back(head->val);
head = head->next;
}
sort(elements.begin(), elements.end());
ListNode *dummyHead = new ListNode();
ListNode *cur = dummyHead;
for (int element : elements) {
cur->next = new ListNode(element);
cur = cur->next;
}
return dummyHead->next;
}
};上述算法时间复杂度为 sort() 的 O ( n log n ) O(n\log{n}) O(nlogn) ，空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n) ------因为新建了一个链表。 直接看看进阶要求：时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\log{n}) O(nlogn) ，空间复杂度为常数级。
考虑算法题中常用的高效排序算法------归并排序，有：
cpp
class Solution {
public:
ListNode *merge(ListNode *L, ListNode *R) {
ListNode dummyHead;
ListNode *cur = &dummyHead;
while (L && R) {
if (L->val < R->val) {
cur->next = L;
L = L->next;
} else {
cur->next = R;
R = R->next;
}
cur = cur->next;
}
cur->next = L ? L : R;
return dummyHead.next;
}
ListNode *sortList(ListNode *head, ListNode *tail) {
if (!head || head == tail) return head;
// 快慢指针找到链表中点
ListNode *slow = head, *fast = head;
while (fast != tail && fast->next != tail) {
slow = slow->next;
fast = fast->next->next;
}
ListNode *mid = slow->next;
slow->next = nullptr; // 断开链表
return merge(sortList(head, slow), sortList(mid, tail));
}
ListNode *sortList(ListNode *head) { return sortList(head, nullptr); }
};上述算法时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\log{n}) O(nlogn) ，即归并排序的时间复杂度。空间复杂度取决于递归调用的栈空间，为 O ( log n ) O(\log{n}) O(logn) ，还是没到最佳的常数级别。为此，需要采用"自底向上"的归并排序实现 O ( 1 ) O(1) O(1) 的空间复杂度：
🔗 以下内容参考 LeetCode官方题解
首先求得链表的长度 length ，然后将链表拆分成子链表进行合并。具体做法如下：
- 用
subLength表示每次需要排序的子链表的长度，初始时subLength=1。 - 每次将链表拆分成若干个长度为
subLength的子链表（最后一个子链表的长度可以小于subLength），按照每两个子链表一组进行合并，合并后即可得到若干个长度为subLength×2的有序子链表（最后一个子链表的长度可以小于subLength×2）。合并两个子链表仍然使用之前用过的归并算法。 - 将
subLength的值加倍，重复第 2 步，对更长的有序子链表进行合并操作，直到有序子链表的长度大于或等于length，整个链表排序完毕。
通过数学归纳法易证最后得到的链表是有序的（每次合并用到的子链表是有序的，合并后的也是有序的）。
cpp
class Solution {
public:
ListNode *merge(ListNode *L, ListNode *R) {
ListNode dummyHead;
ListNode *cur = &dummyHead;
while (L && R) {
if (L->val < R->val) {
cur->next = L;
L = L->next;
} else {
cur->next = R;
R = R->next;
}
cur = cur->next;
}
cur->next = L ? L : R;
return dummyHead.next;
}
ListNode *sortList(ListNode *head) {
if (!head) {
return nullptr;
}
// 获取链表长度
int length = 0;
ListNode *cur = head;
while (cur != nullptr) {
length++;
cur = cur->next;
}
// 自底向上，两两合并长度为subLength的子链表
ListNode *dummyHead = new ListNode(0, head);
for (int subLength = 1; subLength < length; subLength <<= 1) {
ListNode *prev = dummyHead;
cur = prev->next;
while (cur != nullptr) {
// 获取第一个子链表
ListNode *head1 = cur;
for (int i = 1; i < subLength && cur->next != nullptr; ++i) {
cur = cur->next;
}
// 获取第二个子链表
ListNode *head2 = cur->next;
cur->next = nullptr; // 断开第一个子链表结尾
cur = head2;
for (int i = 1; i < subLength && cur && cur->next; ++i) {
cur = cur->next;
}
// 预存第三个子链表（即下一轮的第一个子链表）的头节点
// 即第二个子链表结尾节点的next节点
ListNode *nextHead = nullptr;
if (cur != nullptr) {
nextHead = cur->next;
cur->next = nullptr; // 断开第二个子链表结尾
}
// 合并第一、二个子链表
ListNode *merged = merge(head1, head2);
// 更新prev、cur指针
prev->next = merged;
while (prev->next != nullptr) {
prev = prev->next;
}
cur = nextHead;
}
}
return dummyHead->next;
}
};该算法时间复杂度为 O ( n log n ) O(n \log{n}) O(nlogn) ，空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1) 。