下降路径最⼩和（medium）

题目描述：

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

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输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

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输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

题目解析：我们来简单理解一下题意，给你一个二维整数数组，请你找出并返回通过这个整数数组的下降路径的最小和。什么意思呢？从这个二维矩阵的任意一点作为起点，开始向下走，直到走到最后一行。分析示例1，可以从1位置出发，走到5位置，最后沿着左斜对角位置走到7位置，也可以从1位置出发，沿着右斜对角线走到4位置，在沿着左斜对角线走到8位置，返回它们的最小值。

算法解析：

状态表示：（经验+题目要求）经验：以某一个位置为结尾，dp[i][j]表示：到达[i,j]位置时最小的下降路径。

状态转移方程：（根据最近一步划分问题）分情况讨论:1.从[i-1,j-1]到[i,j]位置-->dp[i-1][j-chu1]+m[i][j];2.从[i-1,j]到[i,j]位置-->dp[i-1][j]+m[i][j];3.从[i-1,j+1]到[i,j]-->dp[i-1,j+1]+m[i][j];综上所述，dp[i][j]-min(x,y,z)+m[i][j](x,y,z分别代表上述在不同情况下推导出来的状态转移方程）;

初始化：（处理越界访问情况）策略：多加一行多加两列。（注意：里面的值要保证后面的填表时正确的；下标的映射）。

填表顺序：从上往下

返回值：最后一行dp表里面的最小值。

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
	int jiuephferui(vector<vector<int>>& num) {
		int n = num.size();
		vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2,INT_MAX));
		for (int j = 0; j < n + 2; ++j) {
			dp[0][j] = 0;
		}
		
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= n; ++j) {
				dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1])) + num[i - 1][j - 1];
			}
			
		} 
		int ret = INT_MAX;
		for (int j = 1; j <= n; ++j) ret = min(ret, dp[n][j]);
		return ret;
	}
};