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蓝桥杯系列：一维前缀和
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前言
上次我介绍了一下模拟和枚举类的题目，这次我想给大家介绍一种必会的思想，就是一维前缀和，因为假设我们要确定一个区间的和，我们每次确定一个范围就是遍历一次，时间复杂度有可能会很高，而我们如果构建出来前缀和数组的话就方便很多了，下面我们来看具体的：
前缀和是以空间换时间
一、暴力的写法：
先给大家来看一种暴力的写法，这种相信大家只要思路是对的应该都可以直接写出来。
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt(); // 数组长度
int q = scan.nextInt(); // 查询次数
int[] arr = new int[n + 1]; // 假设数组从索引1开始存储（方便输入）
// 读取数组元素（1-based）
for (int i = 1; i <= n; i++) {
arr[i] = scan.nextInt();
}
// 处理每个查询
for (int j = 0; j < q; j++) {
int l = scan.nextInt(); // 区间左端点
int r = scan.nextInt(); // 区间右端点
// 暴力累加区间和
int sum = 0;
for (int k = l; k <= r; k++) {
sum += arr[k];
}
System.out.println(sum);
}
scan.close();
}
}这种方式
- 超时风险： 当
n = 1e5且q = 1e5时，总操作次数高达1e10，远超程序的时间限制（通常 1秒内只能处理约1e8次操作）。 - 重复计算： 相同区间多次查询时，暴力法会重复计算，而前缀和只需一次预处理。
二、一维前缀和的模板：
具体实现：
java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
//在此输入您的代码...
int t = 1;
while(t>0){
solve(scan);
t--;
}
scan.close();
}
public static void solve(Scanner scan){
int n = scan.nextInt();
int q = scan.nextInt();
int[] arr = new int[n+1];
int[] pre = new int[n+1];
arr[0] = 0;
pre[0] = 0;
for(int i = 1;i<=n;i++){
arr[i] = scan.nextInt();
pre[i] = pre[i-1]+arr[i];//将前缀和确定
}
for(int j = 0;j<q;j++){
int l = scan.nextInt();
int r = scan.nextInt();
System.out.println(pre[r]-pre[l-1]);
}
}
}这个就是创建出来了一个前缀和数组，然后开始进行赋值。
下面我们通过这个画像来帮大家形象的理解一下：
这个就是用画图来具体的给大家来呈现的方式。
三、具体例题：求和
题目参考：
这也是一道有关前缀和的题，我们分析题可以发现一些规律
a1(a2+....+an) +a2(a3+....+an)+a3(a4+....+an)
所以通项就是:ai(a(i+1)+.....+a(n))
这道题还有一种考点，就是要用合适的数据类型来判断，因为S的值可能会超过int类型，int类型大概范围是2*10的9次方，而long的大概范围是9*10的18次方，这个很明显会超过int范围，所以所以sum应该定义为long类型。而arr[i]*(pre[n]-pre[i])也有可能溢出，所以我们也要把arr[i]转换为long类型的，防止出错。
以下是具体代码实现：
java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
//在此输入您的代码...
int n = scan.nextInt();
System.out.println(sum(n,scan));
scan.close();
}
//这也是一道有关前缀和的题，我们分析题可以发现一些规律
//a1(a2+....+an) +a2(a3+....+an)+a3(a4+....+an)
//所以通项就是:ai(a(i+1)+.....+a(n))
public static long sum(int n,Scanner scan){
int[] arr = new int[n+1];
int[] pre = new int[n+1];
arr[0] = 0;
pre[0] = 0;
for(int i = 1;i<=n;i++){
arr[i] = scan.nextInt();
pre[i] = pre[i-1]+arr[i];//计算前缀和的和
}
long sum = 0;
for(int i = 1;i<n;i++){
sum += (long)arr[i]*(pre[n]-pre[i]);
}
return sum;
}
}对于一维前缀和数组来说：
时间复杂度大幅降低
- 暴力法 ：每次查询需要遍历区间
[l, r]，时间复杂度为 O(n)。 - 前缀和：预处理 O(n)，之后每次查询只需 O(1)。
总结
以上就是今天要讲的内容，其实前缀和就像一个基本的组件可以作为其他算法的组件，像动态规划等等，下面我们讲dp的时候我也会给大家更新的，接下来我会一直给大家更新蓝桥杯的算法题的，大家一起加油，积极向上就完了。