【1】引言
前序学习进程中，已经初步了解了伽马函数，认识到 n n n的阶乘计算可以转化为：
n ! = n ! ⋅ l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + k ) ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ⋅ n ! ( n + k ) ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + k ) n!=n! \cdot lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} n!=n!⋅limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!
如果把整数 n n n替换成任意实数 x x x，就会有：
x ! = l i m k → + ∞ k x ⋅ k ! ( x + 1 ) ( x + 2 ) . . . ( x + k ) x!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^x\cdot k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)} x!=limk→+∞(x+1)(x+2)...(x+k)kx⋅k!
此时，只要 x x x不是负整数，因为负整数会导致分母为0，上述计算式就能执行，此时阶乘形式的伽马函数被扩展到除负整数以外的所有实数。
但大家熟悉的伽马函数其实是一个指数积分形式，因此还需继续探究。
【2】证明积分式和阶乘式相等
证明 ∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = s ! \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s! ∫01(−lnt)sdt=s!
【2.1】积分变换
首先令 u = − l n t u=-ln t u=−lnt，有： d u = − 1 t d t d t = − t d u t = e − u du=-\frac{1}{t}dt\\ dt=-tdu \\t=e^{-u} du=−t1dtdt=−tdut=e−u
此时被积函数变换为：
( − l n t ) s = u s (-lnt)^s=u^s (−lnt)s=us
当 t → 0 + t\rightarrow 0^+ t→0+时， u = − l n t = + ∞ u=-lnt=+\infty u=−lnt=+∞
当 t → 1 t\rightarrow 1 t→1时， u = − l n t = 0 u=-lnt=0 u=−lnt=0
将上述变换代入积分式：
∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = ∫ + ∞ 0 u s ( − t ) d u = ∫ + ∞ 0 u s ( − e u ) d u = ∫ 0 + ∞ u s e − u d u \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{+\infty}^{0}u^s(-t)du=\\ \int_{+\infty}^{0}u^s(-e^u)du=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du ∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu
【2.2】分部积分-s为正整数
当 s s s为正整数 n n n时，积分先写作：
∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = ∫ 0 + ∞ u n e − u d u \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du ∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu
令 v = u n , d w = e − u d u v=u^n,dw=e^{-u}du v=un,dw=e−udu，有：
d v = n u n − 1 d u , w = − e − u dv=nu^{n-1}du,w=-e^{-u} dv=nun−1du,w=−e−u
此时积分式转化为：
∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = ∫ 0 + ∞ u n e − u d u = ∫ 0 + ∞ v d w = v w ∣ 0 + ∞ − ∫ 0 + ∞ w d v = ( u n ( − e − u ) ) ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ n u n − 1 e − u d u = 0 + ∫ 0 + ∞ n u n − 1 e − u d u = n ∫ 0 + ∞ u n − 1 e − u d u \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=\\ \int_{0}^{+\infty}vdw=vw|{0}^{+\infty}-\int{0}^{+\infty}wdv=\\ (u^n(-e^{-u}))|{0}^{+\infty}+\int{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=\\ 0+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du ∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞−∫0+∞wdv=(un(−e−u))∣0+∞+∫0+∞nun−1e−udu=0+∫0+∞nun−1e−udu=n∫0+∞un−1e−udu
这时候先暂停一下，根据前述推导有：
∫ 0 + ∞ u n e − u d u = n ∫ 0 + ∞ u n − 1 e − u d u \int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du ∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu按照这个形式，会有：
∫ 0 + ∞ u n e − u d u = n ∫ 0 + ∞ u n − 1 e − u d u = n ( n − 1 ) ∫ 0 + ∞ u n − 2 e − u d u = . . . = n ( n − 1 ) . . .2 ∫ 0 + ∞ u 1 e − u d u = n ( n − 1 ) . . .2 ⋅ 1 ∫ 0 + ∞ u 0 e − u d u = n ! \int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du=\\ n(n-1)\int_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-u}du=...=\\ n(n-1)...2\int_{0}^{+\infty}u^{1}e^{-u}du=\\ n(n-1)...2\cdot 1\int_{0}^{+\infty}u^{0}e^{-u}du=n! ∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu=n(n−1)∫0+∞un−2e−udu=...=n(n−1)...2∫0+∞u1e−udu=n(n−1)...2⋅1∫0+∞u0e−udu=n!至此可知，当 s s s为正整数 n n n时，
∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = s ! \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s! ∫01(−lnt)sdt=s!
【3】总结
当 s s s为正整数 n n n时，
∫ 0 1 ( − l n t ) s d t = s ! \int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s! ∫01(−lnt)sdt=s!，积分式和阶乘式相等。