数据结构与算法（递归）

递归的定义

"从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，讲的是什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事......" 大家仔细想想，这个故事有什么特别之处？其实，它在不断地重复自身，故事里的老和尚讲的故事和开头的故事是一样的，就像是在一个故事内部又包含了一个完全相同的 "子故事"。而我们今天要学习的 "递归"，其核心思想和这个故事有着异曲同工之妙。

递归：在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分，称之为递归。
若调用自身,称之为直接递归。
若过程或函数p调用过程或函数q，而q又调用p，称之为间接递归。
如果一个递归过程或递归函数中递归调用语句是最后一条执行语句，则称这种递归调用为尾递归。

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例:以下是求n!（n为正整数）的递归函数。

	int fun(int n)
	{	
		if(n==1)                  //语句1         
		return 1;            //语句2 
		else                      //语句3 
			return fun(n-1)*n;   //语句4 
	}

解析：在该函数fun(n)求解过程中，直接调用fun(n-1)（语句4）自身，所以它是一个直接递归函数。又由于递归调用是最后一条语句，所以它又属于尾递归

递归模型是递归算法的抽象，它反映一个递归问题的递归结构。一般情况下，一个递归模型由递归出口和递归体两部分组成。

递归出口确定递归到何时结束，即指出明确的递归结束条件。

递归体确定递归求解时的递推关系。

例如，求n!的递归算法对应的递归模型如下：

模型中，语句1给出了递归的终止条件是递归的出口，

语句2给出了函数 fun(n)的值与函数fun(n-1)的值之间的关系是递归体。

以下三种情况常常要用到递归的方法：

定义是递归的
数据结构是递归的
问题的求解方法是递归的

有许多数学公式、数列等的定义是递归的。

例如,求n!和Fibonacci数列（菲波那切数列）等。

这些问题的求解过程可以将其递归定义直接转化为对应的递归算法

有些数据结构是递归的。例如, 单链表就是一种递归数据结构，其结点类型定义如下：

该定义中，结构体LNode的定义中用到了它自身，即指针域next 是一种指向自身类型的指针，所以它是一种递归数据结构。

有些问题的解法是递归的，例如Hanoi问题求解。

Hanoi问题描述是：设有3个分别命名为X,Y和Z的塔座，在塔座X上有n个直径各不相同，从小到大依次编号为1,2,...,n的盘片，现要求将X塔座上的n个盘片移到塔座Z上并仍按同样顺序叠放。

盘片移动时必须遵守以下规则：

每次只能移动一个盘片；

盘片可以插在X、Y和Z中任一塔座；

任何时候都不能将一个较大的盘片放在较小的盘片上。

设计递归求解算法，将其转换为非递归算法。

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汉诺塔问题算法:

void Hanoil(int n,char X,char Y,char Z)
{
	if(n==1)
		printf("将第%d个盘子从%c移到%c。",n,X,Z);
	else
	{
		Hanoil(n-1,X,Z,Y);
      	printf("将第%d个盘子从%c移到%c。",n,X,Z);
		Hanoil(n-1,Y,X,Z);
	}
}

递归与数学归纳法

递归是算法和程序设计的一种实现技术。

数学归纳法是一种论证方法。

数学归纳法是递归求解问题的理论基础。递归的思想来自数学归纳法。