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前言
本文总结了设计散列函数的注意事项和常用方法。设计散列函数时需注意：定义域覆盖所有关键字、值域不越界、减少冲突、计算简单。主要方法包括：除留余数法（取不大于表长的最大质数）、直接定址法（适用于连续关键字）、数字分析法（选取分布均匀的数码位）、平方取中法（取平方值的中间位）。其中重点阐述了除留余数法对质数取余可减少冲突的原因，并通过具体示例说明了各方法的适用场景和实现要点。这些方法可根据关键字特性选择使用，以达到均匀分布和高效存储的目的。
一.设计散列函数时应该注意什么
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定义域必须涵盖所有可能出现的关键字。
反例： H ( k e y ) = k e y % 13 H(key)=\sqrt{key} \;\%\;13 H(key)=key %13,不支持关键字为负值
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值域不能超出散列表的地址范围。
反例: H ( k e y ) = k e y % 15 H(key)=key\;\%\;15 H(key)=key%15，可能被映射到非法地址13、14
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尽可能减少冲突。散列函数计算出来的地址应尽可能均匀分布在整个地址空间。
反例: H ( k e y ) = ( k e y × 13 ) % 13 H(key)=(key×13)\;\%\;13 H(key)=(key×13)%13任何关键字都会被映射到地址0
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散列函数应尽量简单，能够快速计算出任意一个关键字对应的散列地址。
反例： H ( k e y ) = ( k e y ! ) % 13 H(key)=(key!)\;\%\;13 H(key)=(key!)%13，若关键字值较大，计算阶乘耗时高
二.除留余数法
1.思路和使用场景
- 除留余数法------ H ( k e y ) = k e y % p 除留余数法------H(key)=key\;\%\;p 除留余数法------H(key)=key%p
散列表表长为m，取一个不大于m但最接近或等于m的质数p
注：质数又称素数。指除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数 - 适用场景：较为通用，只要关键字是整数即可
2.具体例子
- 例1：散列表表长 m=13。13是质数，因此可令散列函数 H(key)=key%13
- 例2：散列表表长 m=15。不大于15且最接近15的质数是13，因此可令散列函数 H(key)=key%13
3.拓展：为什么除留余数法要对质数取余？
1.原因
- 原因：对质数取余，可以分布更均匀，从而减少冲突
2.具体例子
- 设：可能出现的关键字={2,4,6,8,10,12,14}
- 散列表表长8，散列函数H(Key)=key%8
- 对合数取余，散列地址分布不均匀，易发生冲突
- 散列表表长8，散列函数H(Key)=key%7
- 对质数取余，散列地址分布均匀，不易发生冲突
Why？------取余运算会被"公因子"影响，详见《数论》
三.直接定址法
1.思路与使用场景
- 直接定址法------ H ( k e y ) = k e y 或 H ( k e y ) = a ∗ k e y + b H(key)=key或H(key)=a*key+b H(key)=key或H(key)=a∗key+b
其中，a和b是常数。这种方法计算最简单，且不会产生冲突。若关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间的浪费。 - 适用场景：关键字分布基本连续
2.具体思路
- 例：用散列表存储某班级的30个学生信息，班内学生学号为(1120112176~1120112205)
- 可令 H(key) = key - 1120112176
四.数字分析法
1.思路与使用方法
- 数字分析法------选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址
设关键字是r进制数 (如十进制数)，而r个数码在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布均匀一些，每种数码出现的机会均等；而在某些位上分布不均匀，只有某几种数码经常出现，此时可选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址。 - 适用场景：关键字集合已知，且关键字的某几个数码位分布均匀
2.具体例子
- 例：要求将手机用户的信息存入长度为 10000 的散列表。以"手机号码"作为关键字设计散列函数
- 中国移动联通电信前三位电话号码各不一样,中间的四位通常是地区的区号,而末尾的四位每个人的电话号码就各不相同
- 所以以手机号码作为关键字的话,那前边的这七个数码位,这些值的分布是不均匀的,只有末尾的四个数码位它的分布是相对均匀的,那我们可以直接选取末尾的四位作为散列地址
五.平方取中法
1.思路与使用方法
- 平方取中法------取关键字的平方值的中间几位作为散列地址。
具体取多少位要视实际情况而定。这种方法得到的散列地址与关键字的每位都有关系，因此使得散列地址分布比较均匀。 - 适用场景：关键字的每位取值都不够均匀。
2.具体例子
- 例：某汽车品牌，以（底盘号、发动机号、外观号）作为一款汽车型号的标识。该品牌有100种车型，欲将这些车型信息存入长度为100的散列表，如何设计散列函数？
- 先对关键字取平方
- 我们取平方的中间两个数值位作为散列地址
- 先对关键字取平方
- 原因是在乘方的时候最中间的两位元素会受到其它所有元素的影响,在这种情况下,最中间的两位元素最终会分布的相对均匀
六.知识回顾与重要考点
结语
八更😉
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