21.
设 v1=[10−10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}v1= 10−10 , v2=[0−101]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}v2= 0−101 , v3=[100−1]\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}v3= 100−1 ，{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 是否生成 R4\mathbb{R}^4R4？为什么？
解答：
- 构造矩阵 A=[v1 v2 v3]A = [\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3]A=[v1 v2 v3]，其为 4×34 \times 34×3 矩阵。
- 由于矩阵的列数（3）小于 R4\mathbb{R}^4R4 的维数（4），其列空间的维度最多为 3。
- 根据定理 4 ，m×nm \times nm×n 矩阵的列生成 Rm\mathbb{R}^mRm 当且仅当矩阵有 mmm 个主元位置。
- 此处 m=4m = 4m=4，但矩阵最多有 3 个主元位置，无法覆盖 R4\mathbb{R}^4R4 的所有向量。
结论 ：
{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 不能生成 R4\mathbb{R}^4R4 。
理由 ：R4\mathbb{R}^4R4 需要至少 4 个线性无关向量才能生成，而该向量组仅有 3 个向量。
22.
设 v1=[00−2]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}v1= 00−2 , v2=[03−2]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}v2= 03−2 , v3=[4−18]\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{bmatrix}v3= 4−18 ，{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 是否生成 R3\mathbb{R}^3R3？为什么？
解答：
-
构造矩阵 A=[v1 v2 v3]A = [\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3]A=[v1 v2 v3]，其为 3×33 \times 33×3 矩阵。
-
行变换过程 ：
0040−3−1−28−5\]→R1↔R3\[−28−50−3−1004\] \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& 4 \\\\ 0 \& -3 \& -1 \\\\ -2 \& 8 \& -5 \\end{bmatrix} \\xrightarrow{R_1 \\leftrightarrow R_3} \\begin{bmatrix} -2 \& 8 \& -5 \\\\ 0 \& -3 \& -1 \\\\ 0 \& 0 \& 4 \\end{bmatrix} 00−20−384−1−5 R1↔R3 −2008−30−5−14
-
根据定理 4 ，3×33 \times 33×3 矩阵的列生成 R3\mathbb{R}^3R3 当且仅当秩为 3。
结论 ：
{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1,v2,v3} 生成 R3\mathbb{R}^3R3 。
理由 ：矩阵 AAA 的列秩为 3，覆盖 R3\mathbb{R}^3R3 的所有向量。
23.
判断下列命题的真假，给出理由。
a. 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 称为向量方程。
False 。
理由 ：方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 称为矩阵方程 。向量方程特指列向量的线性组合形式（如 x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}x1a1+x2a2+⋯+xnan=b）。
b. 向量 b\mathbf{b}b 是矩阵 AAA 的列的线性组合当且仅当方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 至少有一个解。
True 。
理由 ：根据定理 4 ，b\mathbf{b}b 是 AAA 列的线性组合 ⇔\Leftrightarrow⇔ Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有解。
c. 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容，若增广矩阵 [A b][A\ \mathbf{b}][A b] 的每一行有一个主元位置。
False 。
理由 ：若增广矩阵最后一行是 [0 ⋯ 0 b][0\ \cdots\ 0\ b][0 ⋯ 0 b] 且 b≠0b \neq 0b=0，则方程不相容，即使其他行有主元。
!NOTE
反例说明
考虑以下增广矩阵：
A b\]=\[123401230001\] \[A\\ \\mathbf{b}\] = \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 3 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 3 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \[A b\]= 100210320431 * **主元位置分析**： * 第 1 行：第 1 列（在 AAA 中） * 第 2 行：第 2 列（在 AAA 中） * 第 3 行：第 4 列（**在增广列 b\\mathbf{b}b 中**） * **方程组形式** ： {x1+2x2+3x3=4x2+2x3=30x1+0x2+0x3=1 \\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4 \\\\ x_2 + 2x_3 = 3 \\\\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 1 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+3x3=4x2+2x3=30x1+0x2+0x3=1 * **矛盾** ：第三行对应方程 0=10 = 10=1，无解。 * **结论** ：**方程组不相容**，尽管增广矩阵的每一行都有主元位置。
d. 乘积 AxA\mathbf{x}Ax 的第一个元素是乘积的和。
True 。
理由 ：AxA\mathbf{x}Ax 的第一个元素是 AAA 的第一行与 x\mathbf{x}x 的点积，即 ∑j=1nA1jxj\sum_{j=1}^n A_{1j}x_j∑j=1nA1jxj，为乘积的和。
e. 若 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA 的列生成 Rm\mathbb{R}^mRm，则对 Rm\mathbb{R}^mRm 中任意向量 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容。
True 。
理由 ：列生成 Rm\mathbb{R}^mRm 意味着每个 b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^mb∈Rm 都是列的线性组合，即方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有解。
f. 若 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，且方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 对 Rm\mathbb{R}^mRm 中某个 b\mathbf{b}b 不相容，则 AAA 不能在每一行都有一个主元位置。
True 。
理由 ：若 AAA 每行都有主元位置，则 AAA 有 mmm 个主元，根据定理 4 ，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 对所有 b\mathbf{b}b 相容，矛盾。
24.
判断下列命题的真假，给出理由。
a. 每个矩阵方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 对应于一个有相同解集的向量方程。
True 。
理由 ：Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 等价于列向量的线性组合 x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}x1a1+x2a2+⋯+xnan=b，两者解集相同。
b. 向量的任何线性组合总可以写成 AxA\mathbf{x}Ax 的形式，其中 AAA 是适当的矩阵，x\mathbf{x}x 是适当的向量。
True 。
理由 ：对线性组合 c1v1+c2v2+⋯+cnvnc_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_nc1v1+c2v2+⋯+cnvn，令 A=[v1 v2 ⋯ vn]A = [\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \cdots\ \mathbf{v}_n]A=[v1 v2 ⋯ vn]，x=[c1 c2 ⋯ cn]T\mathbf{x} = [c_1\ c_2\ \cdots\ c_n]^Tx=[c1 c2 ⋯ cn]T，则 AxA\mathbf{x}Ax 即为该线性组合。
c. 增广矩阵为 [a1 a2 a3 b][\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \mathbf{a}_3\ \mathbf{b}][a1 a2 a3 b] 的线性方程组的解集与方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集相同，其中 A=[a1 a2 a3]A = [\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \mathbf{a}_3]A=[a1 a2 a3]。
True。
理由 ：增广矩阵 [A b][A\ \mathbf{b}][A b] 的解集即为 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集。
d. 若方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容，则 b\mathbf{b}b 不属于 AAA 的列的生成集。
True 。
理由 ：不相容意味着 b\mathbf{b}b 无法表示为 AAA 列的线性组合，即 b∉Span{a1,...,an}\mathbf{b} \notin \text{Span}\{\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n\}b∈/Span{a1,...,an}。
e. 若增广矩阵 [A b][A\ \mathbf{b}][A b] 在每一行有一个主元位置，则方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容。
False 。
理由 ：若增广矩阵最后一行是 [0 ⋯ 0 0][0\ \cdots\ 0\ 0][0 ⋯ 0 0]，则方程相容；仅当最后一行是 [0 ⋯ 0 b][0\ \cdots\ 0\ b][0 ⋯ 0 b] 且 b≠0b \neq 0b=0 时才不相容。
f. 若 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，它的列不生成 Rm\mathbb{R}^mRm，则对 Rm\mathbb{R}^mRm 中的某个 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容。
True 。
理由 ：列不生成 Rm\mathbb{R}^mRm 意味着存在 b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^mb∈Rm 无法表示为列的线性组合，即方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 无解。
25.
由等式 [4−315−25−62−3][−3−12]=[−7−310]\begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 \\ 5 & -2 & 5 \\ -6 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -3 \\ 10 \end{bmatrix} 45−6−3−2215−3 −3−12 = −7−310 ，求出标量 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3（不用行变换），使得：
−7−310\]=c1\[45−6\]+c2\[−3−22\]+c3\[153\] \\begin{bmatrix} -7 \\\\ -3 \\\\ 10 \\end{bmatrix} = c_1 \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 5 \\\\ -6 \\end{bmatrix} + c_2 \\begin{bmatrix} -3 \\\\ -2 \\\\ 2 \\end{bmatrix} + c_3 \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 5 \\\\ 3 \\end{bmatrix} −7−310 =c1 45−6 +c2 −3−22 +c3 153
解答：
-
矩阵-向量乘积 AxA\mathbf{x}Ax 的几何意义是：x\mathbf{x}x 的分量是矩阵列向量的线性组合系数。
-
给定 A=[4−315−25−62−3]A = \begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 \\ 5 & -2 & 5 \\ -6 & 2 & -3 \end{bmatrix}A= 45−6−3−2215−3 ，x=[−3−12]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}x= −3−12 ，则：
Ax=(−3)[45−6]+(−1)[−3−22]+2[153] A\mathbf{x} = (-3)\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} Ax=(−3) 45−6 +(−1) −3−22 +2 153 -
对比目标等式，直接得：
c1=−3,c2=−1,c3=2 c_1 = -3,\quad c_2 = -1,\quad c_3 = 2 c1=−3,c2=−1,c3=2
结论 ：
c1=−3c_1 = -3c1=−3，c2=−1c_2 = -1c2=−1，c3=2c_3 = 2c3=2。
26.
设 u=[725]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}u= 725 , v=[313]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}v= 313 , w=[610]\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}w= 610 ，已知 3u−5v−w=03\mathbf{u} - 5\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{0}3u−5v−w=0，解方程：
732153\]\[x1x2\]=\[610\] \\begin{bmatrix} 7 \& 3 \\\\ 2 \& 1 \\\\ 5 \& 3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 6 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} 725313 \[x1x2\]= 610
解答：
-
已知条件 3u−5v−w=03\mathbf{u} - 5\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{0}3u−5v−w=0 可重写为：
3u−5v=w 3\mathbf{u} - 5\mathbf{v} = \mathbf{w} 3u−5v=w -
目标方程可表示为：
x1u+x2v=w x_1\mathbf{u} + x_2\mathbf{v} = \mathbf{w} x1u+x2v=w -
对比两式，直接得解：
x1=3,x2=−5 x_1 = 3,\quad x_2 = -5 x1=3,x2=−5
结论 ：
解为 x1=3x_1 = 3x1=3，x2=−5x_2 = -5x2=−5。
27.
设 q1,q2,q3\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3q1,q2,q3 和 v\mathbf{v}v 是 R5\mathbb{R}^5R5 中的向量，x1,x2,x3x_1, x_2, x_3x1,x2,x3 是标量，将向量方程 x1q1+x2q2+x3q3=vx_1\mathbf{q}_1 + x_2\mathbf{q}_2 + x_3\mathbf{q}_3 = \mathbf{v}x1q1+x2q2+x3q3=v 写成一个矩阵方程。
解答：
-
构造矩阵 QQQ，其列为 q1,q2,q3\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3q1,q2,q3：
Q=[q1 q2 q3] Q = [\mathbf{q}_1\ \mathbf{q}_2\ \mathbf{q}_3] Q=[q1 q2 q3] -
构造变量向量 x\mathbf{x}x：
x=[x1x2x3] \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} x= x1x2x3 -
矩阵方程为：
Qx=v Q\mathbf{x} = \mathbf{v} Qx=v
结论 ：
向量方程 x1q1+x2q2+x3q3=vx_1\mathbf{q}_1 + x_2\mathbf{q}_2 + x_3\mathbf{q}_3 = \mathbf{v}x1q1+x2q2+x3q3=v 等价于矩阵方程 [q1 q2 q3][x1x2x3]=v[\mathbf{q}_1\ \mathbf{q}_2\ \mathbf{q}_3] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \mathbf{v}[q1 q2 q3] x1x2x3 =v。
28.
使用符号 v1,v2,...\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dotsv1,v2,... 表示向量，c1,c2,...c_1, c_2, \dotsc1,c2,... 表示标量，重写矩阵方程为向量方程：
−35−497581−2−4\]\[−312−12\]=\[8−1\] \\begin{bmatrix} -3 \& 5 \& -4 \& 9 \& 7 \\\\ 5 \& 8 \& 1 \& -2 \& -4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -3\\\\ 1\\\\ 2\\\\ -1\\\\ 2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 8 \\\\ -1 \\end{bmatrix} \[−3558−419−27−4\] −312−12 =\[8−1
解答：
-
矩阵的列向量：
v1=[−35], v2=[58], v3=[−41], v4=[9−2], v5=[7−4] \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}_4 = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}_5 = \begin{bmatrix} 7 \\ -4 \end{bmatrix} v1=[−35], v2=[58], v3=[−41], v4=[9−2], v5=[7−4] -
系数向量：
c1=−3, c2=1, c3=2, c4=−1, c5=2 c_1 = -3,\ c_2 = 1,\ c_3 = 2,\ c_4 = -1,\ c_5 = 2 c1=−3, c2=1, c3=2, c4=−1, c5=2 -
向量方程：
−3v1+1v2+2v3−v4+2v5=[8−1] -3\mathbf{v}_1 + 1\mathbf{v}_2 + 2\mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_4 + 2\mathbf{v}_5 = \begin{bmatrix} 8 \\ -1 \end{bmatrix} −3v1+1v2+2v3−v4+2v5=[8−1]
结论 ：
向量方程为 −3v1+2v2+4v3−v4+2v5=v6-3\mathbf{v}_1 + 2\mathbf{v}_2 + 4\mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_4 + 2\mathbf{v}_5 = \mathbf{v}_6−3v1+2v2+4v3−v4+2v5=v6，其中 v6=[8−1]\mathbf{v}_6 = \begin{bmatrix} 8 \\ -1 \end{bmatrix}v6=[8−1]。
29.
构造一个 3×33 \times 33×3 非阶梯形矩阵，使得矩阵的列可以生成 R3\mathbb{R}^3R3。说明你构造的矩阵具有这种性质。
解答：
-
构造矩阵：
A=[110101011] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A= 110101011 -
非阶梯形验证：
- 第一列下方有两个非零元素（1, 0），不符合阶梯形定义（每行第一个非零元素下方必须全为零）。
-
列生成 R3\mathbb{R}^3R3 验证：
-
计算行列式：
det(A)=1(0⋅1−1⋅1)−1(1⋅1−1⋅0)+0(1⋅1−0⋅0)=−1−1=−2≠0 \det(A) = 1(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 0(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 - 1 = -2 \neq 0 det(A)=1(0⋅1−1⋅1)−1(1⋅1−1⋅0)+0(1⋅1−0⋅0)=−1−1=−2=0 -
行列式非零，表明 AAA 满秩（秩为 3），因此其列向量线性无关，可生成 R3\mathbb{R}^3R3。
-
结论 ：
矩阵 A=[110101011]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}A= 110101011 满足条件。
30.
构造一个 3×33 \times 33×3 非阶梯形矩阵，使得矩阵的列不可以生成 R3\mathbb{R}^3R3。说明你构造的矩阵具有这种性质。
解答：
-
构造矩阵：
A=[110110001] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A= 110110001 -
非阶梯形验证：
- 第一列下方有两个非零元素（1, 0），不符合阶梯形定义。
-
列不能生成 R3\mathbb{R}^3R3 验证：
-
观察列向量：
a1=[110], a2=[110], a3=[001] \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\ \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\ \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} a1= 110 , a2= 110 , a3= 001 -
a1\mathbf{a}_1a1 和 a2\mathbf{a}_2a2 线性相关（a1=a2\mathbf{a}_1 = \mathbf{a}_2a1=a2），因此列空间维度最多为 2。
-
例如，向量 [100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 100 无法表示为 a1,a2,a3\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3a1,a2,a3 的线性组合。
-
结论 ：
矩阵 A=[110110001]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}A= 110110001 满足条件。
31.
设 AAA 是 3×23 \times 23×2 矩阵，说明为什么方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不可能对 R3\mathbb{R}^3R3 中所有向量 b\mathbf{b}b 都是相容的。推广你的结论到任意大小为任意行数多于列数的矩阵 AAA。
解答：
- AAA 是 3×23 \times 23×2 矩阵，有 3 行 2 列，其列空间维度最多为 2。
- R3\mathbb{R}^3R3 是 3 维空间，而 2 维子空间无法覆盖整个 3 维空间。
- 因此，存在 R3\mathbb{R}^3R3 中的向量 b\mathbf{b}b 不能表示为 AAA 的列向量的线性组合，即方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不相容。
推广：
- 对任意 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，若 m>nm > nm>n（行数多于列数），则 AAA 的列空间维度最多为 nnn。
- Rm\mathbb{R}^mRm 是 mmm 维空间，由于 n<mn < mn<m，列空间无法覆盖整个 Rm\mathbb{R}^mRm。
- 因此，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不可能对 Rm\mathbb{R}^mRm 中所有向量 b\mathbf{b}b 都相*
设
A=[100100](3 行，2 列) A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad (\text{3 行，2 列}) A= 100010 (3 行，2 列)
A 的两列是：
a1=[100],a2=[010] \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} a1= 100 ,a2= 010列空间 \\text{Col}(A) = \\text{span}{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2} 是 \\mathbb{R}\^3 中 xy 平面（即所有形如 \\begin{bmatrix}x\\y\\0\\end{bmatrix} 的向量）。
这个列空间是 2 维的，而 \\mathbb{R}\^3 是 3 维的。
现在取一个不在列空间中的向量 ，比如：
b=[001] \mathbf{b} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} b= 001问：是否存在 \\mathbf{x} = \\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\end{bmatrix} 使得 A\\mathbf{x} = \\mathbf{b} ？
计算：
Ax=x1[100]+x2[010]=[x1x20] A\mathbf{x} = x_1 \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\end{bmatrix} Ax=x1 100 +x2 010 = x1x20无论 x_1, x_2 取何值，第三分量永远是 0，不可能等于 1。
所以 A\\mathbf{x} = \\mathbf{b} 无解！
这说明：并非所有 \\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}\^3 都能让方程有解。
32.
R4\mathbb{R}^4R4 中的 3 个向量能否生成整个 R4\mathbb{R}^4R4？说明理由。当 n<mn < mn<m 时，Rm\mathbb{R}^mRm 中的 nnn 个向量能否生成 Rm\mathbb{R}^mRm？
解答：
- R4\mathbb{R}^4R4 是 4 维空间，需要至少 4 个线性无关的向量才能生成整个空间。
- 3 个向量最多张成 3 维子空间，无法覆盖整个 4 维空间。
- 结论 ：R4\mathbb{R}^4R4 中的 3 个向量不能 生成整个 R4\mathbb{R}^4R4。
一般情况：
- 当 n<mn < mn<m 时，Rm\mathbb{R}^mRm 中的 nnn 个向量不能 生成 Rm\mathbb{R}^mRm。
- 理由：nnn 个向量张成的空间维度最多为 nnn，而 Rm\mathbb{R}^mRm 的维度为 m>nm > nm>n，因此无法覆盖整个空间。
33.
设 AAA 是 4×34 \times 34×3 矩阵，b\mathbf{b}b 是 R4\mathbb{R}^4R4 中的任一向量，且 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有唯一解。由此可知 AAA 的简化阶梯形是怎样的？给出理由。
解答：
- AAA 是 4×34 \times 34×3 矩阵，有 4 行 3 列。
- 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有唯一解，意味着：
- 方程相容（有解）
- 无自由变量（解唯一）
- 因此，AAA 的秩为 3（列满秩），且增广矩阵 [A∣b][A|\mathbf{b}][A∣b] 的秩也为 3。
AAA 的简化阶梯形 ：
100010001000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100001000010 **理由**： * 由于方程有唯一解，AAA 必须有 3 个主元位置（对应 3 个基本变量）。 * 在 4×34 \\times 34×3 矩阵中，前 3 行形成单位矩阵，第 4 行全为零。 * 第 4 行全为零是必要的，否则秩将小于 3，无法满足唯一解条件。 *** ** * ** *** > **34.** > > 设 AAA 是 3×33 \\times 33×3 矩阵，b\\mathbf{b}b 是 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的任一向量，且 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 有唯一解。说明为什么 AAA 的列一定可以生成 R3\\mathbb{R}\^3R3。 **解答**： * AAA 是 3×33 \\times 33×3 矩阵，且 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 对任意 b∈R3\\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}\^3b∈R3 有唯一解。 * 这意味着 AAA 是可逆矩阵（因为方程对任意 b\\mathbf{b}b 有唯一解当且仅当 AAA 可逆）。 * 可逆矩阵的列向量线性无关，且有 3 个线性无关的向量，构成 R3\\mathbb{R}\^3R3 的一组基。 * 因此，AAA 的列向量可以生成整个 R3\\mathbb{R}\^3R3。 **补充说明**： * 更正式地，AAA 可逆 ⇒\\Rightarrow⇒ rank(A)=3\\text{rank}(A) = 3rank(A)=3，而 R3\\mathbb{R}\^3R3 的维度为 3，因此 AAA 的列空间就是整个 R3\\mathbb{R}\^3R3。 *** ** * ** *** > **35.** > > 设 AAA 是 3×43 \\times 43×4 矩阵，y1,y2\\mathbf{y}_1, \\mathbf{y}_2y1,y2 为 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的向量，w=y1+y2\\mathbf{w} = \\mathbf{y}_1 + \\mathbf{y}_2w=y1+y2。对 R4\\mathbb{R}\^4R4 中的向量 x1\\mathbf{x}_1x1 和 x2\\mathbf{x}_2x2，y1=Ax1\\mathbf{y}_1 = A\\mathbf{x}_1y1=Ax1，y2=Ax2\\mathbf{y}_2 = A\\mathbf{x}_2y2=Ax2。为什么方程 Ax=wA\\mathbf{x} = \\mathbf{w}Ax=w 相容？ **解答**： * 已知 y1=Ax1\\mathbf{y}_1 = A\\mathbf{x}_1y1=Ax1 和 y2=Ax2\\mathbf{y}_2 = A\\mathbf{x}_2y2=Ax2。 * 则： w=y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) \\mathbf{w} = \\mathbf{y}_1 + \\mathbf{y}_2 = A\\mathbf{x}_1 + A\\mathbf{x}_2 = A(\\mathbf{x}_1 + \\mathbf{x}_2) w=y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) * 令 x=x1+x2\\mathbf{x} = \\mathbf{x}_1 + \\mathbf{x}_2x=x1+x2，则 Ax=wA\\mathbf{x} = \\mathbf{w}Ax=w。 * 因此，x\\mathbf{x}x 是方程 Ax=wA\\mathbf{x} = \\mathbf{w}Ax=w 的一个解。 **结论** ： **方程 Ax=wA\\mathbf{x} = \\mathbf{w}Ax=w 相容** ，因为存在解 x=x1+x2\\mathbf{x} = \\mathbf{x}_1 + \\mathbf{x}_2x=x1+x2。 *** ** * ** *** > **36.** > > 设 AAA 是 5×35 \\times 35×3 矩阵，y\\mathbf{y}y 是 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的向量，z\\mathbf{z}z 是 R5\\mathbb{R}\^5R5 中的向量。设 Ay=zA\\mathbf{y} = \\mathbf{z}Ay=z。什么事实使你断定方程 Ax=4zA\\mathbf{x} = 4\\mathbf{z}Ax=4z 是相容的？ **解答**： * 已知 Ay=zA\\mathbf{y} = \\mathbf{z}Ay=z。 * 则： A(4y)=4Ay=4z A(4\\mathbf{y}) = 4A\\mathbf{y} = 4\\mathbf{z} A(4y)=4Ay=4z * 令 x=4y\\mathbf{x} = 4\\mathbf{y}x=4y，则 Ax=4zA\\mathbf{x} = 4\\mathbf{z}Ax=4z。 * 因此，x\\mathbf{x}x 是方程 Ax=4zA\\mathbf{x} = 4\\mathbf{z}Ax=4z 的一个解。 **结论** ： **方程 Ax=4zA\\mathbf{x} = 4\\mathbf{z}Ax=4z 相容** ，因为存在解 x=4y\\mathbf{x} = 4\\mathbf{y}x=4y。