题目描述
给你一个二维整数数组 points，其中 points[i] = [xi, yi] 表示第 i 个点在笛卡尔平面上的坐标。
水平梯形 是一种凸四边形，具有 至少一对 水平边（即平行于 x 轴的边）。
返回可以从 points 中任意选择四个不同点组成的 水平梯形 数量，结果对 10^9 + 7 取模。
解题思路
核心观察
这道题的关键在于理解"水平边"的含义：
水平边 = 两个 y 坐标相同的点连成的线段
因此，我们可以把问题转化为：
- 按 y 坐标对所有点进行分组
- 每个分组内的点都在同一条水平线上
- 从两条不同的水平线上各选 2 个点，就能组成一个水平梯形
组合计数
设某条水平线（y = k）上有 cnt 个点，那么从中选 2 个点作为一条水平边的方案数为：
C(cnt,2)=cnt×(cnt−1)2C(cnt, 2) = \frac{cnt \times (cnt - 1)}{2}C(cnt,2)=2cnt×(cnt−1)
假设我们有多条水平线，每条线上能产生的"边对数"分别为 a1,a2,...,ama_1, a_2, \ldots, a_ma1,a2,...,am。
从两条不同的水平线上各取一条边来组成梯形，总方案数为：
ans=∑i<jai×aj\text{ans} = \sum_{i < j} a_i \times a_jans=i<j∑ai×aj
优化计算
直接双重循环计算会是 O(m2)O(m^2)O(m2)，但我们可以用累加技巧在 O(m)O(m)O(m) 内完成：
sum = 0, ans = 0
for each ai:
ans += ai * sum
sum += ai这样每次用当前的 ai 乘以之前所有 aj 的累加和，避免了重复计算。
复杂度分析
| 维度 | 复杂度 |
|---|---|
| 时间 | O(n)O(n)O(n)，其中 n 为点的数量 |
| 空间 | O(m)O(m)O(m)，其中 m 为不同 y 值的数量 |
注意事项
- 溢出风险 ：
C(cnt, 2)最大可达 105×1052≈5×109\frac{10^5 \times 10^5}{2} \approx 5 \times 10^92105×105≈5×109，乘法时需要使用int64并及时取模 - 跳过无效行 ：如果某行只有 1 个点，
C(1, 2) = 0，可以直接跳过 - 取模运算 ：每次乘法和加法后都要对
10^9 + 7取模
Go 代码实现
go
package main
const MOD = 1_000_000_007
func countTrapezoids(points [][]int) int {
// 按 y 坐标分组，统计每个 y 值出现的次数
yCount := make(map[int]int)
for _, p := range points {
yCount[p[1]]++
}
// 计算每条水平线上的边对数 C(cnt, 2)
// 然后用累加技巧计算所有不同行的组合
var sum, ans int64 = 0, 0
for _, cnt := range yCount {
if cnt < 2 {
continue
}
// C(cnt, 2) = cnt * (cnt - 1) / 2
pairs := int64(cnt) * int64(cnt-1) / 2 % MOD
ans = (ans + pairs*sum) % MOD
sum = (sum + pairs) % MOD
}
return int(ans)
}示例验证
示例 1
输入：points = [[1,0],[2,0],[3,0],[2,2],[3,2]]
输出：3- y=0 上有 3 个点 → C(3,2) = 3 条边
- y=2 上有 2 个点 → C(2,2) = 1 条边
- 答案 = 3 × 1 = 3 ✓
示例 2
输入：points = [[0,0],[1,0],[0,1],[2,1]]
输出：1- y=0 上有 2 个点 → C(2,2) = 1 条边
- y=1 上有 2 个点 → C(2,2) = 1 条边
- 答案 = 1 × 1 = 1 ✓
总结
这道题本质上是一道 组合计数 问题，核心技巧是：
- 按 y 坐标分组
- 计算每组的边对数
- 用累加优化双重循环
掌握这个思路后，类似的"选点组成特定图形"问题都可以用相似方法解决。