基本傅里叶变换
基础实现代码
matlab
function basic_fft2_demo()
% 读取灰度图像
I = imread('cameraman.tif'); % 使用MATLAB自带图像或替换为你的图像路径
% 转换为double类型以便计算
I_double = im2double(I);
% 执行二维傅里叶变换
F = fft2(I_double);
% 将零频率分量移到中心
F_shift = fftshift(F);
% 计算幅度谱和相位谱
magnitude_spectrum = abs(F_shift);
phase_spectrum = angle(F_shift);
% 对幅度谱取对数以便更好地显示
log_magnitude = log(1 + magnitude_spectrum);
% 显示结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 300]);
subplot(1,4,1);
imshow(I);
title('原始图像');
subplot(1,4,2);
imshow(log_magnitude, []);
title('对数幅度谱');
subplot(1,4,3);
imshow(phase_spectrum, []);
title('相位谱');
% 逆变换重建图像
F_ishift = ifftshift(F_shift);
I_reconstructed = real(ifft2(F_ishift));
subplot(1,4,4);
imshow(I_reconstructed, []);
title('重建图像');
% 计算重建误差
reconstruction_error = norm(I_double - I_reconstructed, 'fro');
fprintf('重建误差: %e\n', reconstruction_error);
end频域滤波应用
频域滤波器实现
matlab
function frequency_filtering_demo()
% 读取图像
I = imread('cameraman.tif');
I = im2double(I);
[M, N] = size(I);
% 傅里叶变换
F = fft2(I);
F_shift = fftshift(F);
% 创建频率坐标网格
u = (0:M-1) - floor(M/2);
v = (0:N-1) - floor(N/2);
[U, V] = meshgrid(v, u);
D = sqrt(U.^2 + V.^2); % 到中心的距离
% 设计不同的滤波器
cutoff_low = 30; % 低通截止频率
cutoff_high = 30; % 高通截止频率
cutoff_band = 50; % 带通中心频率
% 低通滤波器 (理想低通)
H_low = double(D <= cutoff_low);
% 高通滤波器 (理想高通)
H_high = double(D >= cutoff_high);
% 高斯低通滤波器
D0 = 30; % 截止频率
H_gaussian = exp(-(D.^2) / (2 * D0^2));
% 应用滤波器
F_low = F_shift .* H_low;
F_high = F_shift .* H_high;
F_gaussian = F_shift .* H_gaussian;
% 逆变换
I_low = real(ifft2(ifftshift(F_low)));
I_high = real(ifft2(ifftshift(F_high)));
I_gaussian = real(ifft2(ifftshift(F_gaussian)));
% 显示结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 600]);
subplot(2,4,1); imshow(I); title('原始图像');
subplot(2,4,2); imshow(H_low, []); title('理想低通滤波器');
subplot(2,4,3); imshow(H_high, []); title('理想高通滤波器');
subplot(2,4,4); imshow(H_gaussian, []); title('高斯低通滤波器');
subplot(2,4,5); imshow(I, []); title('原始图像');
subplot(2,4,6); imshow(I_low, []); title('理想低通滤波结果');
subplot(2,4,7); imshow(I_high, []); title('理想高通滤波结果');
subplot(2,4,8); imshow(I_gaussian, []); title('高斯低通滤波结果');
end图像增强应用
高频增强和同态滤波
matlab
function image_enhancement_demo()
% 读取图像
I = imread('pout.tif'); % 使用低对比度图像
I = im2double(I);
[M, N] = size(I);
% 傅里叶变换
F = fft2(I);
F_shift = fftshift(F);
% 高频增强滤波器
u = (0:M-1) - floor(M/2);
v = (0:N-1) - floor(N/2);
[U, V] = meshgrid(v, u);
D = sqrt(U.^2 + V.^2);
D_max = max(D(:));
% 高频增强传递函数
alpha = 1.5; % 增强系数
beta = 0.5;
H_enhance = alpha + beta * (D / D_max);
% 应用高频增强
F_enhanced = F_shift .* H_enhance;
I_enhanced = real(ifft2(ifftshift(F_enhanced)));
% 同态滤波 (用于同时增强对比度和压缩动态范围)
% 对图像取对数
I_log = log(I + 0.01); % 加小值避免log(0)
% 傅里叶变换
F_log = fft2(I_log);
F_log_shift = fftshift(F_log);
% 同态滤波函数 (高频增强，低频抑制)
gammaL = 0.5; % 低频增益
gammaH = 2.0; % 高频增益
c = 1; % 锐化常数
D0 = 30; % 截止频率
H_homomorphic = (gammaH - gammaL) * (1 - exp(-c * (D.^2 / D0^2))) + gammaL;
% 应用同态滤波
F_homomorphic = F_log_shift .* H_homomorphic;
I_homomorphic = real(ifft2(ifftshift(F_homomorphic)));
I_homomorphic = exp(I_homomorphic); % 指数变换
% 显示结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
subplot(1,4,1); imshow(I); title('原始图像');
subplot(1,4,2); imshow(H_enhance, []); title('高频增强滤波器');
subplot(1,4,3); imshow(I_enhanced, []); title('高频增强结果');
subplot(1,4,4); imshow(I_homomorphic, []); title('同态滤波结果');
end纹理分析和特征提取
频谱分析和特征计算
matlab
function texture_analysis_demo()
% 读取纹理图像
I = imread('texture.png'); % 替换为你的纹理图像
I = im2double(I);
if size(I, 3) == 3
I = rgb2gray(I);
end
[M, N] = size(I);
% 傅里叶变换
F = fft2(I);
F_shift = fftshift(F);
magnitude_spectrum = abs(F_shift);
% 计算径向功率谱
center_x = floor(N/2) + 1;
center_y = floor(M/2) + 1;
[X, Y] = meshgrid(1:N, 1:M);
R = sqrt((X - center_x).^2 + (Y - center_y).^2);
R = round(R);
% 计算径向平均功率谱
r_max = min(floor(M/2), floor(N/2));
radial_profile = zeros(1, r_max);
for r = 0:r_max-1
mask = (R == r);
if sum(mask(:)) > 0
radial_profile(r+1) = mean(magnitude_spectrum(mask));
end
end
% 计算纹理特征
total_power = sum(magnitude_spectrum(:).^2);
% 低频能量比例 (中心区域)
low_freq_mask = (R <= min(M,N)/8);
low_freq_energy = sum(magnitude_spectrum(low_freq_mask).^2) / total_power;
% 高频能量比例 (外围区域)
high_freq_mask = (R >= min(M,N)/4);
high_freq_energy = sum(magnitude_spectrum(high_freq_mask).^2) / total_power;
% 显示结果
figure('Position', [100, 100, 1000, 400]);
subplot(1,3,1);
imshow(I);
title('原始纹理图像');
subplot(1,3,2);
imshow(log(1 + magnitude_spectrum), []);
title('对数幅度谱');
subplot(1,3,3);
plot(0:r_max-1, radial_profile);
xlabel('径向频率');
ylabel('平均幅度');
title('径向功率谱');
grid on;
% 输出纹理特征
fprintf('纹理特征分析:\n');
fprintf('总功率: %.4f\n', total_power);
fprintf('低频能量比例: %.4f\n', low_freq_energy);
fprintf('高频能量比例: %.4f\n', high_freq_energy);
fprintf('低频/高频能量比: %.4f\n', low_freq_energy / high_freq_energy);
end噪声检测和图像恢复
周期性噪声检测和去除
matlab
function noise_detection_removal()
% 创建带有周期性噪声的图像
I_clean = im2double(imread('cameraman.tif'));
[M, N] = size(I_clean);
% 添加周期性噪声
[X, Y] = meshgrid(1:N, 1:M);
noise = 0.1 * sin(2*pi*X/20) + 0.1 * sin(2*pi*Y/15);
I_noisy = I_clean + noise;
I_noisy = min(max(I_noisy, 0), 1); % 限制在[0,1]范围内
% 傅里叶变换
F_noisy = fft2(I_noisy);
F_shift = fftshift(F_noisy);
magnitude_spectrum = abs(F_shift);
log_magnitude = log(1 + magnitude_spectrum);
% 检测噪声频率 (寻找明显的峰值)
threshold = mean(log_magnitude(:)) + 2 * std(log_magnitude(:));
noise_mask = (log_magnitude > threshold) & ...
~((X >= N/2-5 & X <= N/2+5) & (Y >= M/2-5 & Y <= M/2+5)); % 排除DC分量
% 创建陷波滤波器
H_notch = ones(M, N);
H_notch(noise_mask) = 0;
% 应用陷波滤波器
F_filtered = F_shift .* H_notch;
I_filtered = real(ifft2(ifftshift(F_filtered)));
% 显示结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
subplot(1,4,1);
imshow(I_noisy);
title('带噪声图像');
subplot(1,4,2);
imshow(log_magnitude, []);
title('噪声图像频谱');
hold on;
[noise_y, noise_x] = find(noise_mask);
plot(noise_x, noise_y, 'r.', 'MarkerSize', 10);
title('频谱 (红点:检测到的噪声)');
subplot(1,4,3);
imshow(H_notch, []);
title('陷波滤波器');
subplot(1,4,4);
imshow(I_filtered, []);
title('去噪后图像');
% 计算信噪比改善
snr_original = 10 * log10(var(I_clean(:)) / var(I_noisy(:) - I_clean(:)));
snr_filtered = 10 * log10(var(I_clean(:)) / var(I_filtered(:) - I_clean(:)));
fprintf('信噪比分析:\n');
fprintf('原始图像SNR: %.2f dB\n', snr_original);
fprintf('滤波后SNR: %.2f dB\n', snr_filtered);
fprintf('SNR改善: %.2f dB\n', snr_filtered - snr_original);
end实用工具函数
通用的傅里叶变换工具包
matlab
function fft_toolkit()
% 这是一个综合的傅里叶变换工具包
% 1. 图像傅里叶变换可视化
function visualize_fft2(I, title_str)
I = im2double(I);
F = fft2(I);
F_shift = fftshift(F);
magnitude = abs(F_shift);
phase = angle(F_shift);
figure('Position', [100, 100, 800, 200]);
subplot(1,4,1); imshow(I); title([title_str, ' - 原图']);
subplot(1,4,2); imshow(log(1+magnitude), []); title('幅度谱');
subplot(1,4,3); imshow(phase, []); title('相位谱');
% 重建验证
I_recon = real(ifft2(ifftshift(F_shift)));
subplot(1,4,4); imshow(I_recon, []); title('重建图像');
end
% 2. 频域滤波器设计
function H = create_filter(type, M, N, params)
u = (0:M-1) - floor(M/2);
v = (0:N-1) - floor(N/2);
[U, V] = meshgrid(v, u);
D = sqrt(U.^2 + V.^2);
switch type
case 'lowpass'
D0 = params.D0;
H = double(D <= D0);
case 'highpass'
D0 = params.D0;
H = double(D >= D0);
case 'gaussian_lowpass'
D0 = params.D0;
H = exp(-(D.^2) / (2 * D0^2));
case 'butterworth_lowpass'
D0 = params.D0;
n = params.n;
H = 1 ./ (1 + (D ./ D0).^(2*n));
otherwise
H = ones(M, N);
end
end
% 3. 频域卷积
function I_filtered = frequency_convolution(I, H)
I = im2double(I);
F = fft2(I);
F_shift = fftshift(F);
F_filtered = F_shift .* H;
I_filtered = real(ifft2(ifftshift(F_filtered)));
end
% 使用示例
I = imread('cameraman.tif');
visualize_fft2(I, '测试图像');
[M, N] = size(I);
params.D0 = 30;
H = create_filter('gaussian_lowpass', M, N, params);
I_filtered = frequency_convolution(I, H);
figure;
subplot(1,2,1); imshow(I); title('原图');
subplot(1,2,2); imshow(I_filtered, []); title('高斯低通滤波');
end参考代码 灰度图像的二维傅里叶变换 www.3dddown.com/csa/69842.html
使用和技巧
-
图像预处理：
- 使用
im2double()将图像转换为double类型 - 确保图像是灰度图像
- 使用
-
频谱显示：
- 使用
fftshift()将零频率移到中心 - 对幅度谱取对数(
log(1 + magnitude))改善可视化效果
- 使用
-
滤波器设计：
- 理想滤波器会产生振铃效应
- 高斯滤波器过渡平滑，效果更好
-
性能优化：
- 对于大图像，考虑使用
fft2的单精度版本 - 多次使用时可以预计算频率网格
- 对于大图像，考虑使用