【LeetCode刷题】爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

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输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

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输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

1 <= n <= 45

解题思路

要爬到第n阶台阶，最后一步只有两种选择：

从第n−1阶爬 1 个台阶到达；
从第n−2阶爬 2 个台阶到达。

因此，爬n阶的方法数 = 爬n−1阶的方法数 + 爬n−2阶的方法数，即递推公式：f(n)=f(n−1)+f(n−2)

初始条件：

当n=1时，只有 1 种方法（直接爬 1 阶），即f(1)=1；
当n=2时，有 2 种方法（1+1、2），即f(2)=2。

Python代码：

python 复制代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        """
        计算爬n阶楼梯的不同方法数（每次可爬1或2阶）
        :param n: 楼梯总阶数，1 <= n <= 45
        :return: 不同的爬楼方法数
        """
        # 边界条件：n=1返回1，n=2返回2
        if n <= 2:
            return n

        # 初始化状态：
        # prev_1 对应 f(n-2)，prev_2 对应 f(n-1)
        prev_1, prev_2 = 1, 2

        # 从第3阶开始递推计算到第n阶
        for i in range(3, n + 1):
            # 当前阶数的方法数 = 前两阶方法数之和
            current = prev_1 + prev_2
            # 更新状态：为下一次循环准备（滑动窗口）
            prev_1, prev_2 = prev_2, current

        # 循环结束后，prev_2 存储的是f(n)
        return prev_2


# 测试用例（本地运行验证）
if __name__ == "__main__":
    solution = Solution()
    # 测试案例1：n=2，预期输出2
    print(f"n=2时，爬楼方法数：{solution.climbStairs(2)}")  # 输出2
    # 测试案例2：n=3，预期输出3
    print(f"n=3时，爬楼方法数：{solution.climbStairs(3)}")  # 输出3
    # 测试案例3：n=5，预期输出8
    print(f"n=5时，爬楼方法数：{solution.climbStairs(5)}")  # 输出8

LeetCode提交代码：

python 复制代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        # 处理边界情况
        if n <= 2:
            return n
        # 初始化前两个状态（n=1时为1，n=2时为2）
        prev_1, prev_2 = 1, 2
        # 从n=3开始递推
        for _ in range(3, n + 1):
            current = prev_1 + prev_2
            prev_1, prev_2 = prev_2, current
        return prev_2

程序运行截图展示：

总结

该问题要求计算爬n阶楼梯的方法数，每次可爬1或2阶。通过分析发现，爬n阶的方法数等于前两阶方法数之和，即斐波那契数列的变种。递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，初始条件f(1)=1，f(2)=2。采用动态规划优化空间复杂度至O(1)，通过滑动窗口（prev_1和prev_2）迭代计算。Python实现中，边界条件直接返回n，循环从3到n递推，最终返回prev_2。测试案例验证了代码正确性，适用于1≤n≤45的输入范围。