背包问题递推公式中的dp[j-nums[j]]到底怎么理解

如何理解各种背包问题递推公式中的`dp[j-nums[j]]`

我们先来看一下经典0-1背包问题是什么，题目描述如下：

你是一个探险家，有一个最多能装 10 公斤的背包。现在有以下 4 件物品可供选择携带：

物品编号	重量（kg）	价值（元）
1	2	3
2	3	4
3	4	5
4	5	6

每件物品最多只能选一次（0-1 选择）。

问：在不超过背包容量的前提下，你能获得的最大总价值是多少？

假如以下条件是已知的：

• DP数组含义：dp[j] 表示的是背包中重量为 j的物品的最大价值为 dp[j]。
• 递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])。
• 最终循环结构代码如下：

int[] dp = new int[weight+1]; // dp[j] 表示容量为j的背包中放入物品的最大价值为dp[j]
for(int i = 0; i < nums.length; i++) { // 循环的是物品
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 循环的是背包的容量
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

问题：

1. 递推公式中的 dp[j - nums[i]] 怎么理解？
   • 外层循环是物品，那么nums[i]表示当前这个物品的重量。
   • 内层循环是背包容量，即 j 表示的是背包的容量。
   • dp[j] 表示的是容量为 j 的背包放入所有物品的最大价值。
   • 如果当前 j = 10 且 nums[i] = 3，就是说这个重量为3的物品已经确定被选择了 ，剩余容量就是 j - nums[i] => 10 - 3 = 7了，所以此时的最大价值 =「当前所选的物品价值」 + 「剩余空间的最大价值」 => 3 + dp[10 - 3] ， 即公式中的 dp[j - nums[i]] + nums[i]了。

总结：要时刻清楚dp[i] 的含义。理不清的时候就回头看一下其含义，静下心来好好想想，很简单的。