记录72
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
long long t,n,cnt;
cin>>t;
while(t--){
cnt=0;
cin>>n;
for(long long i=2;i*i*i<=n;i++){
while(n%(i*i*i)==0){
cnt++;
n/=i*i*i;
}
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}题目传送门
https://www.luogu.com.cn/problem/P8448
突破口
定一个正整数 n。
每次操作可以选两个素数 y,z，其中要求 z 是奇素数。
令 x=y^z，如果 x 能除尽 n 则计为一次有效操作，n 变为 n/x。
现在需要你回答，对于 n 最多能够进行多少次有效操作。
思路
🔍 关键观察（数学转化）
-
z 是奇素数 → 最小的 z 是 3，然后是 5, 7, 11, ...
-
每次操作实际上是：从 n 中移除一个形如
p^q的因子，其中：p是任意素数（即 y）q是奇素数（即 z ≥ 3）
-
目标是最大化操作次数 → 我们希望每次移除的指数尽可能小，这样同样的素因子可以被拆成更多次操作。
✅ 例如：
p^9可以拆成：- 一次
p^9（z=9？但 9 不是素数 ❌） - 或三次
p^3（z=3 是奇素数 ✅）→ 3 次操作
所以：最优策略是每次都用最小的奇素数 z = 3 来除！
- 一次
-
为什么不用 z=5,7...？
- 因为
p^5 = p^3 * p^2，但p^2无法单独构成一次操作（z=2 不是奇素数） - 所以
p^5只能做 1 次操作（用 z=5） ，但如果写成p^3 * p^2，只有p^3能操作，剩下p^2浪费 - 但
p^6 = (p^3) * (p^3)→ 2 次操作 p^9 = (p^3)^3→ 3 次操作- 所以：只要指数 ≥ 3，每 3 个指数就能贡献 1 次操作
- 因为
💡 结论：对每个素因子 p，设其在 n 中的指数为 e，则它最多贡献 ⌊e / 3⌋ 次操作？
❌ 不完全对！因为我们可以多次操作，每次除
p^3，直到剩下的指数 < 3。
但注意：操作不要求一次性用完所有指数，可以循环操作。
所以更准确的做法是：
- 只要
n能被p^3整除，就除一次，计数 +1 - 重复直到不能除
代码简析
cpp
int main(){
long long t, n, cnt;
cin >> t;- 读入测试数据组数
t。 n是当前数字，cnt记录操作次数。
cpp
while(t--){
cnt = 0;
cin >> n;- 对每组数据，初始化操作次数为 0，读入
n。
🔥 核心循环：
cpp
for(long long i = 2; i * i * i <= n; i++){- 枚举可能的素因子
i（从 2 开始） - 循环条件：
i^3 ≤ n
→ 因为我们只关心能否除i^3，如果i^3 > n，就不可能再操作了
⚠️ 注意：这里
i不一定是素数！但不影响结果，原因见后文。
cpp
while(n % (i * i * i) == 0){
cnt++;
n /= i * i * i;
}- 只要
n能被i^3整除，就：- 操作次数 +1
n = n / i^3
- 重复直到不能整除
✅ 这就是在模拟：不断用
y = i,z = 3（最小奇素数）进行操作
❓ 为什么 i 不需要判断是否为素数？
这是本题最精妙的地方！
假设 i 是合数，比如 i = 4 = 2^2，那么 i^3 = 64 = 2^6。
但在枚举到 i=2 时，已经把 2^3、2^6、2^9... 全部除干净了！
所以当 i=4 时，n 中已经不含因子 2 ，自然 n % 64 != 0，不会进入 while。
✅ 合数
i的立方i^3的素因子，一定在更小的i中已经被处理过了→ 所以
while条件不会满足，合数i不会产生额外操作
因此，无需判断 i 是否为素数，直接枚举即可！
cpp
}
cout << cnt << endl;
}
return 0;
}- 输出操作次数。
🧪 举例验证
输入： n = 216 = 2^3 * 3^3
i=2:2^3=8,216 % 8 == 0→cnt=1,n=27- 再检查：
27 % 8 != 0→ 退出 while
- 再检查：
i=3:3^3=27,27 % 27 == 0→cnt=2,n=1i=4:4^3=64 > 1→ 循环结束- 输出：
2✅
输入： n = 64 = 2^6
i=2:- 第一次：
64 / 8 = 8→cnt=1 - 第二次：
8 / 8 = 1→cnt=2
- 第一次：
- 输出：
2✅（对应2^3 * 2^3）
✅ 为什么不用考虑 z=5,7 等更大的奇素数？
因为：
- 用
z=3操作次数 ≥ 用z=5的操作次数 - 例如
p^5：- 用
z=5：1 次 - 用
z=3：只能操作 1 次（剩p^2），也是 1 次
- 用
p^6：z=3：2 次z=5：1 次（剩p）
p^9：z=3：3 次z=5：1 次（剩p^4，无法再操作）
✅ 所以贪心地每次都用 z=3 是最优的！
✅ 总结
这段代码的正确性基于以下关键点：
| 关键点 | 说明 |
|---|---|
| 只用 z=3 | 最小奇素数，能最大化操作次数 |
| 枚举 i 无需判素 | 合数的立方会被其素因子提前消耗完 |
| 循环条件 i³ ≤ n | 超过则无法再操作 |
| while 循环 | 模拟多次使用同一素因子的操作 |
补充
这道题虽然代码简短，但背后蕴含了几个重要的数学与算法思想，尤其在 CSP、NOIP 等竞赛中高频出现。以下是核心数学知识点的总结：
✅ 1. 奇素数（Odd Prime）的定义
- 素数：大于 1 且只能被 1 和自身整除的正整数（如 2, 3, 5, 7, 11...）
- 奇素数 ：排除 2 的所有素数，即 ≥3 的素数（3, 5, 7, 11...）
- ⚠️ 2 是唯一的偶素数 ，题目明确要求
z是奇素数 → z ≠ 2
📌 应用：操作中指数
z只能取 3, 5, 7...，不能用y²
✅ 2. 质因数分解（Prime Factorization）
任何正整数 n 都可唯一表示为：
n=p1e1⋅p2e2⋯pkekn=p1e1⋅p2e2⋯pkek
其中 p_i 是素数，e_i 是正整数。
- 本题中，每次操作实质是从某个
p_i^{e_i}中减去一个奇素数指数z - 所有操作相互独立（不同素因子之间无影响）
📌 应用：问题可分解为对每个素因子单独处理
✅ 3. 贪心策略：最小指数最大化操作次数
- 目标是最大化操作次数，而非移除最多的数值
- 对于素因子
p的指数e，若使用指数z（奇素数），则最多操作⌊e / z⌋次 - 要使操作次数最大 → z 应尽可能小
- 最小的奇素数是 3
✅ 结论：总是优先使用
z = 3是最优策略
| 指数 e | 用 z=3 的操作数 | 用 z=5 的操作数 |
|---|---|---|
| 6 | 2 | 1 |
| 9 | 3 | 1 |
| 5 | 1 | 1 |
→ z=3 永远不劣于更大的 z
✅ 4. 合数不会干扰枚举（筛法思想的隐式应用）
- 代码枚举
i从 2 开始，未显式判断i是否为素数 - 但因为从小到大枚举，当
i是合数时，其素因子已被完全清除 - 所以
i³不可能整除剩余的n
📌 这类似于 埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes） 的思想：
- 合数会被其最小素因子"提前处理"
- 因此无需单独判断素性
✅ 举例：
i=4 时，因子 2 已被除尽 → n 不含 2 → 4³ = 64 无法整除 n
✅ 5. 整除与幂次的关系
- 若
p^k ∣ n，则n中素因子p的指数 ≥ k - 每次
n /= p³，等价于将p的指数减少 3 - 循环直到指数 < 3
📌 应用：用
while(n % (i*i*i) == 0)模拟"尽可能多次使用p³"
✅ 6. 时间复杂度分析：立方根优化
- 枚举上限为
i³ ≤ n→i ≤ ∛n - 对于
n ≤ 10¹⁸，∛n ≤ 10⁶，完全可接受 - 每次除法快速降低
n，实际运行更快
📌 技巧：利用数学性质缩小枚举范围
🔚 总结：核心数学知识点清单
| 知识点 | 作用 |
|---|---|
| 奇素数定义 | 确定合法操作的指数集合（z ≥ 3 且为素数） |
| 质因数分解唯一性 | 将问题分解为独立子问题（各素因子互不影响） |
| 贪心选择（z=3 最优） | 保证操作次数最大化的关键策略 |
| 合数自动跳过（筛法思想） | 无需素性判断，简化代码 |
| 幂次与整除关系 | 支撑 while(n % i³ == 0) 的正确性 |
| 立方根枚举优化 | 保证算法高效（O(∛n)） |
这些知识点不仅是本题的关键，也是数论类竞赛题的通用工具包。掌握它们，就能轻松应对 CSP-J/S、NOIP 中的多数数学与模拟题！