1. 回归树
1.1 算法介绍
大家看到这篇文章时想必已经对树这个概念已经有基础了，如果不是很了解的朋友可以看看笔者的这篇文章：
超简单白话文机器学习-决策树算法全解（含算法介绍，公式，源代码实现以及调包实现）_白话决策树-CSDN博客
对于回归树的建立，我们一般使用CART回归树，CART(Classification and Regression Trees)回归树是一种用于连续值预测的树模型。它通过递归地分裂数据集，以最小化预测误差为目标，最终生成一棵树结构的模型。
CART回归树的构建核心是选择最佳分裂点通过计算MSE进行衡量。
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选择最佳分裂点，对每个特征尝试所有的分裂点，计算分裂后各个数据集的均方误差。
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计算分裂前后的总MSE：
其中，n为总样本数，各分子分别是左子节点和右子节点的样本数。
- 递归分裂，对每个子节点重复上述步骤直到满足停止条件（例如达到最大深度或叶节点中的样本数少于阈值）
获得最佳划分特征之后，需要确定分裂节点的阈值，需要最小化目标函数
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首先对于最佳划分特征中的数值进行迭代。
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对于该特征特定数值进行分裂的样本进行错误率的计算。
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汇总后选择错误率最小的数值作为阈值选择。
2. 树剪枝概述
2.1 预剪枝
2.1.1 算法
预剪枝的核心是在生成决策树的过程中提前停止树的增长。计算当前的划分是否能带来模型泛化能力的提升，如果不能，则不再继续生长子树。
有如下几种方法：
( 1 ）当树到达一定深度的时候，停止树的生长。
( 2 ）当到达当前结点的样本数量小于某个阈值的时候，停止树的生长。
( 3 ）计算每次分裂对测试集的准确度提升，当小于某个阈值的时候 ，不再继续扩展。
2.2 后剪枝
2.2.1 算法
首先我们先讲后剪枝的伪代码用口水话进行呈现：
基于已有的树切分测试数据：
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如果存在任一子集是一棵树，则在该子集递归剪枝过程
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计算将当前两个叶节点合并后的误差
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计算不合并的误差
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如果合并可以降低误差，就合并
剪枝策略：
如果剪枝后的叶节点误差小于或等于未剪枝子树的误差，则进行剪枝，即将该内部节点变为叶节点。继续评估和剪枝树中的其他节点，直到不再有可以进一步剪枝的节点。
误差的衡量方式有多种，回归树的误差衡量我们一般选择MSE。
2.2.2 代价复杂度剪枝
前文我们已经讲了，防止过拟合的方法之一时，对决策树进行剪枝，即减少树的分支。 剪枝防止过拟合使得在测试集上的表现更好。
将公式呈现在这里：
让我们用白话文转化一下这个公式：
评价一棵树的得分由两部分组成，第一部分为SSR，一种预测错误率的衡量方式。第二部分代表决策树T的叶子结点个数，阿尔法是自定义指数，需要通过交叉验证的方式得到最佳参数，不同的参数影响最终所生成的树。
举个例子：
对于这四个树我们取得了他们总体的SSR值，假设我们的参数值为1000，计算树的得分。
选取得分最小的树作为我们的预测模型，即第一棵树拥有四个叶子节点。改变参数值会选择不同的预测模型，让我们计算在什么参数值下会分别指向哪一棵树。
在不同参数值的条件下，我们使用测试集迭代进行交叉验证，根据测试集最后的得分我们选择最佳参数作为判断标准，最终构造我们的预测树模型。
3. 手写代码实现
3.1 回归树
python
def regLeaf(dataset):
return np.mean(dataset[:,-1]) #得到叶结点，目标变量的均值
def regErr(dataset):
return np.var(dataset[:,-1]) * np.shape(dataset)[0] #返回的是总方差
def chooseBestSplit(dataset,leafType=regLeaf,errType=regErr,ops=(1,4)):
tols = ops[0];tolN = ops[1] #tols是容许的误差下降值, yolN是切分的最少样本数
if len(set(dataset[:,-1].T.tolist()[0])) == 1: #如果剩余特征为1
return None,leafType(dataset) #直接返回叶子结点
m,n = np.shape(dataset)
S = errType(dataset) #数据集的总误差
bestS = 100000; bestIndex=0;bestvalue = 0
for featIndex in range(n-1):
for splitVal in set(dataset[:,featIndex]): #对于某特征不同值的集合进行迭代
mat0,mat1 = binSplitDataset(dataset,feat,splitVal)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): continue #如果不满足最少切分样本树
newS = errType(mat0) + errorType(mat1) #返回数据集的总方差
if newS < bestS: #选择总方差最少的数据分类方式
bestIndex = feat
bestvalue = splitVal
bestS = newS
if (S - bestS) < tols: #如果小于要求的误差下降值，则直接返回叶子结点
return None,leafType(dataset)
mat0,mat1 = binSplitDataset(dataset,bestIndex,bestvalue)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):
return None, leafType(dataset)
return bestIndex,bestValue4. 调包实现
4.1 预剪枝
python
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载数据集
data = load_iris()
X = data.data
y = data.target
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 设置预剪枝条件
max_depth = 3 # 限制树的最大深度
min_samples_split = 4 # 分裂一个内部节点所需的最小样本数
min_samples_leaf = 2 # 叶节点所需的最小样本数
# 初始化并训练决策树分类器
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42,
max_depth=max_depth,
min_samples_split=min_samples_split,
min_samples_leaf=min_samples_leaf)
clf.fit(X_train, y_train)
# 预测并评估模型性能
y_pred = clf.predict(X_test)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'预剪枝条件下的决策树分类器准确率: {accuracy:.4f}')
# 可视化决策树（需要graphviz支持）
from sklearn.tree import export_graphviz
import graphviz
dot_data = export_graphviz(clf, out_file=None,
feature_names=data.feature_names,
class_names=data.target_names,
filled=True, rounded=True,
special_characters=True)
graph = graphviz.Source(dot_data)
graph.render("iris_prepruned_tree") # 将树保存为PDF文件
graph # 在Jupyter Notebook中显示决策树4.2 后剪枝
python
import numpy as np
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score
import matplotlib.pyplot as plt
# 示例数据集
X = np.array([[2.7, 2.5], [1.3, 1.5], [3.2, 2.8], [3.8, 2.5], [2.9, 2.4],
[6.5, 3.1], [7.1, 3.4], [6.0, 2.9], [7.6, 3.2], [6.3, 3.0]])
y = np.array([0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1])
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 生成完整的决策树
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42)
clf.fit(X_train, y_train)
# 获取剪枝路径
path = clf.cost_complexity_pruning_path(X_train, y_train)
ccp_alphas, impurities = path.ccp_alphas, path.impurities
# 遍历不同的剪枝参数，选择最佳剪枝
clfs = []
for ccp_alpha in ccp_alphas:
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42, ccp_alpha=ccp_alpha)
clf.fit(X_train, y_train)
clfs.append(clf)
# 交叉验证选择最佳剪枝参数
alpha_scores = [cross_val_score(clf, X_train, y_train, cv=2).mean() for clf in clfs]
best_clf = clfs[np.argmax(alpha_scores)]
# 在测试集上评估最佳模型
test_score = best_clf.score(X_test, y_test)
print(f'Best alpha: {ccp_alphas[np.argmax(alpha_scores)]}')
print(f'Test set score: {test_score}')
# 可视化剪枝路径
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(ccp_alphas, alpha_scores, marker='o', drawstyle='steps-post')
plt.xlabel('Alpha')
plt.ylabel('Cross-validated accuracy')
plt.title('Alpha vs Cross-validated accuracy')
plt.show()5. 剪枝的优点与局限性
5.1 预剪枝
5.1.1 优点
提高可解释性：便于理解。
减少计算复杂度：在构建树的过程中提前停止分裂，减少模型训练时间和计算资源的消耗。
防止过拟合：限制树的复杂度，提高模型的泛化能力。
5.1.2 局限性
次优决策：在树构建过程中基于局部信息作出决策，可能忽略了更深层次的潜在有用分裂。
信息丢失：某些潜在的重要特征和信息可能未能充分利用，导致模型的表达能力有限。
难以处理复杂模式：简单树结构可能无法捕捉复杂的决策边界，从而影响分类或回归的精度。
5.2 后剪枝
5.2.1 优点
后剪枝比预剪枝保留了更多的分支， 欠拟合风险小 ， 泛化性能往往优于预剪枝决策树
5.2.2 局限性
训练时间开销大 ：后剪枝过程是在生成完全决策树 之后进行的，需要自底向上对所有非叶结点逐一计算
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应用前景
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医疗保健：
-疾病预测：回归树用于疾病的发生概率，基于病患的历史数据和体检报告进行精准预测
-治疗效果评测：预测不同治疗方案的效果，帮助医生制定个性化的治疗计划
- 环境科学：
-气象预测：用于预测天气变化趋势，例如温度，降水量等
-环境监测：监测和预测空气质量，水质等环境指标
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