【题目描述】
总公司拥有高效设备M台，准备分给下属的N个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数M。
【输入】
第一行有两个数，第一个数是分公司数N，第二个数是设备台数M；
接下来是一个N*M的矩阵，表明了第 I个公司分配 J台机器的盈利。
【输出】
第一行输出最大盈利值；
接下N行，每行有2个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。
【输入样例】
3 3 //3个分公司分3台机器
30 40 50
20 30 50
20 25 30【输出样例】
70 //最大盈利值为70
1 1 //第一分公司分1台
2 1 //第二分公司分1台
3 1 //第三分公司分1台这道题是典型的分组背包问题，但比普通动态规划多一个难点：不仅要计算最大盈利，还要输出具体分配方案。很多人能算出最大值，但一到输出方案就卡壳。
一、 为什么状态转移方程这么写？
dp[i][j] = max{dp[i-1][j-k] + a[i][k]}
要理解这个方程，必须理解动态规划的三个维度：
1. 为什么需要二维数组 dp[i][j]？（定义状态）
很多同学会问："我能不能只用一维 dp[j] 表示 j 台机器的最大利润？"
-
答案是不能。 因为这道题的每个公司（阶段）不一样。
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如果我们只记录"用了 j 台机器"，我们就丢失了"当前分到了第几个公司"的信息。
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你需要知道"前 i-1 个公司"的情况，才能推导出"前 i 个公司"的情况。
-
所以： i代表阶段 （进度条），j 代表资源限制（背包容量）。
2. 方程背后的"无后效性"逻辑（推导过程）
想象你在做第i个公司的决策。此时：
-
你手头总共有j台设备可用。
-
决策：你要给第i个公司分k台（k可以是 0, 1, 2...j）。
-
代价：一旦你分给它k台，剩下的资源就只有j-k台了。
-
依赖 ：剩下的j-k台设备，必须由前面的i-1个公司 去分，并且要分得最好（利润最大）。
这就构成了最优子结构：
前i个公司的最大利 = max( 第i个公司分k台的利 + 前i-1个公司分剩余j-k台的最大利 )
翻译成数学符号就是：
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a[i][k]：第i个公司分k台的当期收益。 -
dp[i-1][j-k]：历史累积的最优收益（把剩下的j-k台给前面人分）。 -
max(...)：枚举所有可能的k，选个最大的。
二、 核心难点剖析（教学重点）
这道题对初学者来说，有三个"坑"是必须跨过去的。
难点 1：模型识别------这是"分组背包"不是"0/1背包"
很多学生学完 0/1 背包（采药问题）后，习惯了"要么选、要么不选"。
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误区：学生会以为对于第i个公司，只有"给机器"和"不给机器"两种选择。
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正解 ：这是一个互斥分组问题。
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给第i个公司"1台机器"、"2台机器"..."m台机器"，这些选项是互斥的。
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你不能同时给甲公司"方案1"又给它"方案2"。
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本质：内层循环的k，就是在枚举这个"组"里的所有互斥选项。
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难点 2：循环的嵌套顺序（谁在最外层？）
代码里是三层循环：
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最外层i （枚举公司）：代表阶段。必须先算完前 1 个公司，才能算前 2 个公司。这是DP的"地基"。
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中间层j （枚举设备量）：代表状态/容量。
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最内层k （枚举分配量）：代表决策。
问：j 和k能反过来吗？
答：在二维数组写法下，数学逻辑上j和k的交换不影响结果（但在滚动数组优化成一维DP时，顺序至关重要，必须j从大到小，且必须j在外k在内）。
学习时固定顺序：阶段 -> 状态 -> 决策。
难点3：状态定义要精准
cpp
int dp[15][20]; // dp[i][j]：考虑前i个分公司，总共分配j台设备时的最大盈利这里的"考虑前i个分公司"很关键。不是"分到第i个分公司"，而是"已经为前i个分公司做好了分配决策"。
为什么这么定义？
因为动态规划是递推的，我们需要一个状态能从前一个状态转移过来。dp[i][j]必须能从dp[i-1][某个值]推导出来。
难点4：路径记录的同步
这是本题最大难点。很多人能算出最大盈利，但不知道如何记录分配方案。
cpp
if(dp[i-1][j-k] + a[i][k] >= dp[i][j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-k] + a[i][k];
b[i][j] = k; // 关键：记录这个决策
}b[i][j]表示：在状态(i,j)下，第i个分公司分配了k台设备才得到最大盈利。
为什么要用>=而不是>？
题目有个隐含要求：当盈利相同时，编号小的分公司尽可能少分设备（洛谷，但信息学奥赛一本通不这么做也会错一个测试点）。因为k是从小到大枚举的，用>=能保证在盈利相等时选择更小的k。
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我们的 DP 是从前往后推的（算i=1, 2...），但路径还原是从后往前推的（从n倒推回1）。
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为了让前面的c_1尽可能小，就意味着后面的c_n要尽可能多拿（因为总资源固定）。
-
核心逻辑 ：当
dp[i-1][j-k] + a[i][k] == dp[i][j]时，意味着"给第i个公司分k台"和"分更少台"的利润一样。 -
决策 ：为了压榨前面公司的资源（迫使它们分得少），在利润相同时，我们要让当前的第i个公司尽可能多拿。
-
代码体现 ：内层循环
k从1到j（从小到大枚举），配合>=号。 -
结果：第i个公司拿到了它能拿的最大值，剩下的留给i-1的就少了。
-
当k变大，如果利润持平，
>=会强制更新，选择更大的k。
难点5：逆向推导方案
得到最大盈利后，如何知道每个分公司具体分多少台？
cpp
c[n] = b[n][m]; // 最后一个分公司分配数
int x = m; // 剩余设备数
for(int i = n-1; i >= 1; i--){
x = x - c[i+1]; // 减去已分配的设备
c[i] = b[i][x]; // 当前分公司分配数
}为什么从后往前推？
因为b[i][j]记录的是"在总设备数为j时"的决策。我们知道最终是m台，但不知道中间状态。从最后往前推，可以逐步确定每个状态的总设备数。
三、完整代码逐行解析
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[15][20];//dp[i][j]代表轮到分第i个分公司时，总共有j台设备待分配，可以获得的最大盈利值
int a[15][20];//a[i][j]代表第i个分公司分到j台设备时的盈利值
int b[15][20];//b[i][j]用来存储过程中每次轮到分第i个公司，总共有j台设备情况下，第i个公司分几台设备能达到最大盈利值
int c[15];//用来存储第i个公司在n台设备情况下，为了获取最大盈利，分得的设备数
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) cin>>a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++){//现可以分配i个分公司
for(int j=1;j<=m;j++){//总共有j台设备可以分配
dp[i][j]=dp[i-1][j];//初始化为不分配设备给第i个单位
for(int k=1;k<=j;k++){//给第i个分公司分配k台设备，比较最大盈利值
//当分配i分公司k台设备盈利大于当前时，选择分 这里不加等于号原则上是对的，但是会错一个测试点
//加上等于号就是最大盈利值相同时，要求编号小的公司分得设备尽可能少。
if(dp[i-1][j-k]+a[i][k]>=dp[i][j]){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k]+a[i][k]);
b[i][j]=k;
}
}
}
}
/*
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cout<<dp[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
*/
/*//这里是为了检查b数组里面存的数然后找规律
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cout<<b[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
*/
cout<<dp[n][m]<<endl;//最大盈利值
c[n]=b[n][m];
int x=m;
for(int i=n-1;i>=1;i--){
x=x-c[i+1];
c[i]=b[i][x];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<i<<" "<<c[i]<<endl;
return 0;
}四、边界情况处理
-
初始状态 ：
dp[0][j]=0，没有分公司时盈利为0 -
不分配设备的情况 ：
dp[i][j]初始化为dp[i-1][j]，表示不给第i个分公司设备 -
设备数为0 ：
dp[i][0]=0，有设备才能有盈利
五、复杂度分析
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时间复杂度：O(n×m²)，三重循环
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空间复杂度：O(n×m)，三个二维数组
六、扩展思考
-
如果n,m很大（比如1000），需要优化空间，用滚动数组
-
如果要输出所有最优方案，需要记录所有可能的k值
-
如果设备可分割，变为连续问题，需要用实数处理
七、总结
这道题的难点在于状态设计和路径记录的结合。很多动态规划题只需要求最优值，但这题要求具体方案，必须在状态转移时同步记录决策路径。
关键点：
-
定义清晰的状态：
dp[i][j] -
在状态转移时记录决策：
b[i][j] -
逆向推导方案时要注意设备总数的更新
-
处理相等情况用
>=而不是>
掌握这个思路，类似的"求具体方案"的动态规划题都能解决。