【数据结构】——算法设计范式的相关习题

目录

• 一、贪心法
• • 题型一（贪心法的概念）
  • 题型二（贪心法的应用）
• 二、动态规划
• • 题型一（动态规划的概念）
  • 题型二（贪心法和动态规划对比）
• 三、分治法
• • 题型一（分治法的概念）
  • 题型二（分治法的应用）
• 四、常用搜索算法
• • 题型一（穷举法的概念）
  • 题型二（回溯法的概念）
  • [题型三（DFS/BFS 搜索）](#题型三（DFS/BFS 搜索）)
  • 题型四（分支限界法的概念）
  • 题型五（分支限界法的应用）
  • 题型六（回溯法与分支限界法对比）
• 五、算法设计范式对比

✅❌

一、贪心法

题型一（贪心法的概念）

1、贪心算法的核心特征是（ ）。

A、总是选择当前最优解

B、回溯尝试所有可能

C、分阶段解决子问题

D、总能找到最优解

解析：（A）

贪心算法是指不考虑整体上的综合最优决策，而在局部上以最优决策来解决问题，即每次选择的都是最优的解决方案，不考虑该决策对整体的影响。A✅

贪心算法不会涉及到回溯，选择后不会回溯再尝试所有可能。B❌

动态规划会将问题分解为每个子问题，子问题重叠不独立，对子问题保存最优解，可以说是分阶段解决子问题（按子问题的规模从小到大依次求解）；而贪心算法不依赖子问题的最优解，是直接每一步选择当前局部最优。C❌

贪心算法针对某一问题，只有同时具有最优子结构性质和贪心选择性质，则可以通过使用贪心算法可以得到最优解。例如，贪心算法针对 0-1 背包只能得到次优解，需要通过动态规划才能得到最优解。D❌

题型二（贪心法的应用）

1、哈夫曼编码是一种数据压缩算法。以下关于哈夫曼编码的描述中，不正确的是（ ）。

A、哈夫曼编码是一种变长编码，频率高的字符使用较短的编码，频率低的字符使用较长的编码

B、在构造哈夫曼树时，频率越低的字符离根节点越近，频率越高的字符离根节点越远

C、哈夫曼编码的生成过程基于贪心算法，每次选择频率最低的两个节点进行合并

D、哈夫曼编码是一种前缀编码，任何一个字符的编码都不会是另一个字符编码的前缀，因此可以实现唯一解码

解析：（B）

哈夫曼编码中任一字符的编码都不是其它字符的编码的前缀，它是一种可变长度编码，且是无前缀编码，频率越高，编码越短。A、D✅

频率越高的字符离根节点越近，频率越低的字符离根节点越远，因为频率高的字符，会在较晚的步骤中被合并，最终处于树的较顶层。B❌

贪心算法的常见应用场景，例如，哈夫曼树中的哈夫曼编码，图的应用中求最小生成树以及求单源最短路径的相关算法等。每次选择的都是两个最小权值结点，从而构成了一个局部最优解；每次选择的情况都是最小权值结点，所以这两个结点之和一定是最优解。C✅

2、下列哪些问题不能用贪心法精确求解？

A、哈夫曼编码问题

B、0-1 背包问题

C、最小生成树问题

D、单源最短路径问题

解析：（B）

哈夫曼编码问题可以用贪心法求解。A✅

贪心算法针对某一问题，只有同时具有最优子结构性质和贪心选择性质，则可以通过使用贪心算法可以得到最优解。例如，贪心算法针对 0-1 背包只能得到次优解，需要通过动态规划才能得到最优解。B❌

最小生成树问题中可以通过 Kruskal 算法和 Prim 算法实现，可以通过贪心法实现。单源最短路径问题可以通过 Dijkstra 算法实现，也是可以通过贪心法实现。都是通过每一步选当前最优的边或顶点的贪心策略，实现全局最优解。C、D✅

3、以下哪些算法不属于贪心算法？

A、Dijkstra 算法

B、Prim 算法

C、Floyd 算法

D、Kruskal 算法

解析：（C）

贪心算法：哈夫曼编码、Prim 算法、Kruskal 算法、Dijkstra 算法 （前者用于哈夫曼树，后三者用于图）。A、B、D✅

Floyd 算法是用于图，求图中一对顶点之间的最短路径。需要动态规划实现，通过枚举中间顶点，三重循环逐步更新任意两点之间的最短路径长度，所以不属于贪心算法。C❌

二、动态规划

题型一（动态规划的概念）

1、（判断题）动态规划方法将原问题分解为一个或多个相似的子问题，因此必须使用递归实现。

解析：（×）

动态规划算法的两个基本要素是最优子结构和重叠子问题，可以使用递推（迭代）或递归两种方式实现。❌

2、（判断题）递推是一种通过已知的初始值和递推公式，逐步求解目标值的算法。

解析：（√）

动态规划中，由底向上的递推法是将问题分成相互独立、可简单直接求解的子问题，并将子问题的解按由小到大的顺序保存下来，逐步构建出问题的最优解，递推主要由循环语句实现，可以避免采用递归函数时所带来的额外开销。而由顶向下的递归法可概括为递归+可记忆，一开始将问题分成子问题，通过递归先解决子问题，可记忆指的是保存每个子问题的解，从而大幅度提升计算效率，缩短时间，不过有栈溢出风险。✅

3、（判断题）动态规划算法通常有递归实现和递推实现。但由于递归调用在运行时会由于层数过多导致程序崩溃，有些动态规划算法只能用递推实现。

解析：（√）

递归实现和递推实现有相同的渐进运行时间，但递推方法通常更快，原因是避免了递归函数调用的常数开销，从而对于大规模问题来说，是更适合的，而对于小规模问题适用于递归。✅

4、以下关于递推算法基本思想的描述，正确的是（ ）。

A、递推算法通过将问题分解为相互独立的子问题来解决

B、递推算法通常用于穷举所有可能的解决方案

C、递推算法从已知的基础情况出发，通过某种关系逐步推导出更大规模问题的解

D、递推算法适用于在每一步做出局部最优选择以达到全局最优

解析：（C）

将问题分解为相互独立的子问题是分治法的核心思想，不是递推算法。A❌

穷举所有可能的解决方案是暴力枚举法的特点，递推算法是通过递推公式逐步推导，不需要穷举。B❌

递推算法的核心思想就是从已知的基础情况出发，利用问题本身的递推关系，逐步推导得到更大规模问题的解。C✅

贪心算法是每一步做出局部最优选择以达到全局最优，而不是递推算法。D❌

5、以下关于动态规划算法特性的描述，正确的是（ ）。

A、子问题相互独立，不重叠

B、问题包含重叠子问题和最优子结构

C、只能从底至顶迭代求解

D、必须使用递归实现，不能使用迭代

解析：（B）

分治法每个子问题独立，动态规划每个子问题重叠不独立。A❌

动态规划的两个基本要素是最优子结构和重叠子问题。B✅

动态规划有两种方法实现，递归是自顶向下（递归+可记忆），递推（迭代）是自底向上。C、D❌

6、以下关于动态规划的说法中，错误的是（ ）。

A、动态规划方法通常能够列出递推公式

B、动态规划方法的时间复杂度通常为状态的个数

C、动态规划方法有递推和递归两种实现形式

D、对很多问题，递推实现和递归实现动态规划方法的时间复杂度相当

解析：（B）

递推公式就是最优值的递归表达式，都是动态规划的核心，即状态转移方程。A✅

动态规划中斐波那契数列的状态个数为O(n)，时间复杂度为O(n)，而汉诺塔问题的状态个数为O(n)，时间复杂度却为O(2ⁿ)，最优二叉查找树的状态个数为O(n²)，时间复杂度却为O(n³)。B❌

动态规划有两种实现形式，分别为递归自顶向下（递归+可记忆），递推自底向上（迭代）。C✅

递归和递推只是实现方法不同，状态转移方程都一样，所以时间复杂度是相当的，例如，斐波那契数列。D✅

题型二（贪心法和动态规划对比）

1、以下关于贪心法和动态规划的说法中，错误的是（ ）。

A、对特定的问题，贪心法不一定适用

B、当特定的问题适用贪心法时，通常比动态规划的时间复杂度更低

C、对很多问题，递推实现和递归实现动态规划方法的时间复杂度相当

D、采用动态规划的算法一定具有多项式时间复杂度

解析：（D）

贪心算法不考虑整体上的综合最优决策，而在局部上以最优决策来解决问题（每次最优），所以对一些特定问题不一定适用。A✅

贪心法通常比动态规划时间复杂度更低，例如，贪心法中的克鲁斯卡尔算法（Kruskal）为O(nlogn)，迪杰斯特拉算法（Dijkstra）为O(n)，而动态规划中构建最优二叉查找树为O(n³)，0-1背包的时间复杂度为O(n×W)。B✅

递归是自顶向下（递归+可记忆），递推（迭代）是自底向上，只是实现方法不同，状态转移方程都一样，所以时间复杂度是相当的，例如，斐波那契数列。C✅

动态规划的时间复杂度取决于具体的问题，时间复杂度不一定是多项式，例如，汉诺塔问题 O(2ⁿ) 是指数时间、0-1 背包O(n×W)是伪多项式时间，因为 W 只是数值大小而不是输入位数，当用二进制表示W时（需要log₂W位），所以不是真正的指数时间，也不是真正的多项式时间。D❌

三、分治法

题型一（分治法的概念）

1、分治法的基本步骤不包括（）

A、将原问题分解为若干个规模较小的子问题

B、求解每个子问题

C、合并子问题的解得到原问题的解

D、反复试探并回退，细调子问题的解

解析：（D）

分治法主要分为分解、治理两大步骤。分解，是将问题分解成多个规模上较小、内容上相互独立、性质上与原问题相同的子问题；治理，是对各个子问题直接求解，若仍不容易解决，则再进行进一步分解后再求解，由于性质相同，所以求解子问题的解决方法和原问题是相同的；治理中包含合并，是将得到的各个子问题的解进行合并，从而得到原问题的解。所以不包含反复试探并回退的说法。D❌

题型二（分治法的应用）

1、（判断）二分查找算法是分治法的一种应用，其时间复杂度为 O(log₂n)。

解析：（√）

二分查找中，当有序序列为 n = 1 时，查找元素 x 需要的时间复杂度为 T(n)=O(1)；而当 n > 1 时，子问题的规模为n/2，其递归关系式为 T(n)=T(n/2^x)+xO(1)，即令n=2^x，则 x=log₂n，二分查找的 T(n)=O(1)+O(log₂n)，即二分查找的时间复杂度为 O(log₂n)。✅

2、下列算法中，不基于分治法的是（）。

A、快速排序

B、归并排序

C、二分查找

D、Dijkstra 算法

解析：（D）

常见的分治法有二分查找（分治 + 缩小范围）、快速排序（分治 + 划分）和归并排序（分治 + 合并）等。A、B、C✅

贪心算法：哈夫曼编码、Prim 算法、Kruskal 算法、Dijkstra 算法 （前者用于哈夫曼树，后三者用于图）。D❌

四、常用搜索算法

题型一（穷举法的概念）

1、（判断）穷举法的时间复杂度通常较高，因此只适用于小规模问题。

解析：（√）

穷举法需要枚举所有可能，时间复杂度多为 O(2ⁿ)或 O(n!)，仅适合小规模数据。✅

2、要查找有序数组中的特定元素，以下哪种算法思路最合理，且不属于穷举法（）。

A、逐一遍历数组中所有元素比对

B、每次将数组拆分为两半，缩小查找范围

C、随机选取元素比对，直到找到目标值

D、从数组两端同时向中间比对

逐一遍历数组中所有元素比对，依次比对，是穷举法。A✅

每次将数组拆分为两半，缩小查找范围。该方法是二分查找，即分治法，不属于穷举法。B❌

随时选取数组的元素比对，其实也是在遍历数组，一直在比对每个元素，而且还可能会重复对比元素，所以也是属于穷举法。C✅

从数组两端同时向中间比对，是按照顺序来进行遍历元素，也没有减少比较元素的次数，还是穷举法。D✅

3、以下算法中，不属于暴力算法的是（）。

A、穷举法

B、回溯法

C、分治法

D、枚举法

解析：（C）

穷举法、枚举法、回溯法都属于基于搜索的算法，都是暴力搜索，其中回溯法是优化后的暴力搜索（带剪枝的穷举）。A、B、D✅

而分治法可以理解成分解和治理两步，治理后进行合并，从而将所有子问题的解合并，得到原问题的解，不属于暴力算法。C❌

题型二（回溯法的概念）

1、关于回溯法，下列说法错误的是（）

A.、回溯法是一种试探性算法，它的基本思想是尝试所有可能的路径

B、回溯法通常可以通过主动剪枝来大幅减少搜索次数

C、回溯法解决 N 皇后问题时，会尝试在每一行放置皇后，若冲突则回退

D、回溯法不需要考虑问题的约束条件，可直接尝试所有可能

解析：（D）

回溯法通过深度优先搜索（DFS），本质上还是搜索所有可能，找出满足约束条件的所有解，如果该部分解不满足约束条件时剪掉（剪枝）。D❌

题型三（DFS/BFS 搜索）

1、下列关于深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的说法，错误的是（）。

A、DFS 通常使用栈（或递归栈）实现，BFS 通常使用队列实现

B、BFS 可以保证找到无权图中两点之间的最短路径

C、DFS 和 BFS 的时间复杂度均为 O(n+m)（n 为节点数，m 为边数）

D、DFS 一定不会重复访问同一个节点

解析：（D）

深度优先搜索（DFS）可概括为尽可能深地去搜索一个图，是一个递归的过程（需要用到栈存储），同时采用回溯算法。广度优先搜索是通过队列来存储图的顶点实现遍历（队列用于避免重复访问，存放已经访问过的各邻接顶点）。A✅

BFS 可以保证在无权图中找到两点之间的最短路径，因为是逐层遍历，保证了它找到的第一次到达目标的路径就是最短路径。B✅

对于一个图G =（V，E），由顶点集 V 和边集 E 组成。DFS 的时间复杂度取决于图的存储结构，如果是邻接矩阵存储，时间复杂度为O(∣V²∣)，如果是邻接表存储，时间复杂度为O(∣V+E∣)；BFS 与 DFS 相同，也是取决于图的存储结构，与它们遍历的顺序无关，因为在访问每个顶点和每条边的开销上是相同的。C✅

深度优先搜索（DFS）会进行回溯，从而沿着原路返回尝试其他分支。D❌

2、求解 " 迷宫中从起点到终点的所有可行路径 "，最适合的算法是（）

A、贪心算法

B、深度优先搜索（DFS）

C、广度优先搜索（BFS）

D、动态规划

解析：（B）

题设要求是所有可行路径，而不是一条最短路径或任意一条路径，所以需要系统性地搜索全部可能的路径，贪心是每一步选当前最优，不回溯，只能找一条路径。A❌

深度优先搜索（DFS）是尽可能深地去搜索一个图（先走到底），然后通过回溯，若当前分支已经访问过，则会回溯到上一个顶点，继续搜索其他分支顶点，直到所有顶点被访问。总的来说，进入一个迷宫的分支，记录路径，到终点保存，回溯继续搜索其他路径。B✅

广度优先搜索（BFS）可以找到最短路径，如果要找迷宫所有路径，需要记录所有可能的分支情况，会比 DFS 占用更多，总的来说没有 DFS 更适合。C❌

动态规划会记住子问题的解（记忆），避免重复计算。找迷宫所有可行路径并不需要避免重复计算子路径，因为每条完整路径都要输出，所以动态规划也不合适。D❌

题型四（分支限界法的概念）

1、若用分支限界法求解最大化问题，当某子问题的最优值小于当前下界时，该子问题应（ ）。

A、继续分支

B、剪枝

C、调整约束

D、重新定界

解析：（B）

当上届大于下届，则说明分支有更好的解，此时才需要继续分支。A❌

上界相当于当前最高要求，下界相当于当前最低要求，小于下届，则不可能比目前得到的结果更优，所以应该剪枝。B✅

若发现松弛解不满足要求，分支限界法才会通过添加新约束。C❌

重新定界是指在求解过程中发现更好的解，从而更新当前最佳值，此时才会进行重新定界。D❌

2、分支限界法求解整数规划问题时，"定界" 的依据是（ ）。

A、约束条件个数

B、目标函数值

C、决策变量数量

D、可行解数量

解析：（B）

分支限界法需要定界，对于一个待求解的问题，上界和下界是对问题的可能解进行限制和估计的方法，从而用于解决问题。上界相当于当前最高要求，指问题中的最优解不会超过某个已知值，下界相当于当前最低要求，指问题中的最优解不会低于某个已知值。所以不管上界还是下界，它们都是目标函数值，是数值界限。B✅

题型五（分支限界法的应用）

1、常见的分支限界法搜索策略不包括（ ）。

A、队列式（FIFO）

B、堆栈式（LIFO）

C、优先级队列式

D、深度优先搜索

解析：（D）

深度优先搜索（DFS）本身是一种搜索遍历策略，所以不包括。D❌

题型六（回溯法与分支限界法对比）

1、回溯法与分支限界法的核心区别是（ ）。

A、回溯法采用深度优先，分支限界法仅用广度优先

B、回溯法不剪枝，分支限界法依赖剪枝

C、回溯法追求所有可行解，分支限界法优先找最优解

D、回溯法处理组合问题，分支限界法处理数值问题

解析：（C）

回溯法采用深度优先，而分支限界法不仅只采用广度优先，也有队列式（FIFO）、堆栈式（LIFO）和优先级队列式。A❌

回溯法通过约束函数进行可行性剪枝，并不是不剪枝；分支限界法通过界限函数剪枝，即最优性剪枝（上届、下届）。B❌

回溯法的优点是能够找出所有可能的解，且不仅仅是最优解。而分支限界法的优点在于它能够在问题规模较大时，通过剪枝有效地减少搜索空间，从而快速找到最优解，但不能保证找到所有的可能解。C✅

回溯法常用于决策问题、枚举所有解、约束满足问题等，而分支限界法适用于带数值目标的最优化问题。D❌

五、算法设计范式对比

1、下列关于算法的说法，错误的是（ ）。

A、如果有足够的时间和空间，枚举法能解决一切有限的问题

B、分治算法将原问题分为多个子问题进行求解，且分解出的子问题必须相互独立

C、如果能找到合理的贪心原则，贪心算法往往能够比其他方法更快求解

D、倍增法在搜索未知长度的有序数组时，通过动态倍增或减半步长，快速定位目标范围

解析：（B）

枚举法在足够空间复杂度时空下能解决一切有限问题。A✅

分治算法不是必须拆成多个子问题，例如，二分查找是只拆分1个子问题，左边查找或右边查找。B❌

贪心算法每一步都选当下最好，不像枚举尝试所有可能，也不用像动态规划需要记录当前所有状态，所以常比其他方法更快求解。C✅

倍增法是先设置步长大范围找某个数，再逐渐缩小步长精确定位，从而快速确定目标范围。D✅

2、下面哪个不是常见的算法设计范式？

A、分治法

B、动态规划

C、递归

D、随机化

解析：（C）

分治法 、动态规划、随机化算法都是常见的算法设计范式，数值随机化算法、蒙特卡洛算法、拉斯维加斯算法、舍伍德算法等都是随机化算法。A、B、D✅

递归是一种编程实现方法，不是算法设计范式，例如，在分治法、动态规划、回溯法等都可以用递归实现，也可以迭代实现。C❌

3、某道路网络有多个损坏段，修复成本不同，要求用最低成本使道路网络连通，适配的算法范式是（）。

A、回溯法

B、贪心算法

C、动态规划

D、枚举法

可以每次选择局部最优的修复方式来进行修复道路，通过Kruskal 算法或 Prim 算法来实现，即贪心算法。B✅