希尔排序与堆排序

希尔排序

介绍

希尔排序由希尔发明，当一个序列的无序程度较低时，那么使用插入排序的效率就会很快，希尔排序的核心思想就是，通过逐步缩小增量(步长)来逐步把一开始很无序的序列慢慢变得有序，最后当增量为1时，就是一次典型的插入排序。

实现

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typedef int ElementType;

void ShellSort(ElementType A[], int N) {
    int i,j,Increment;
    ElementType tmp;
    for (Increment=N/2; Increment>0; Increment/=2) {
        for (i=Increment; i<N; i++) {
            tmp = A[i];
            for (j=i; j>=Increment; j-=Increment) {
                if (tmp < A[j-Increment]) {
                    A[j] = A[j-Increment];
                }else {
                    break;
                }
            }
            A[j] = tmp;
        }
    }
}

假如有一个元素数量为11的乱序序列，那么就可以得到11/2=5，5/2=2，2/1=1，这三个增量。对序列进行增量为5的插入排序，分别获得下标为(5，0),(6，1),(7，2),(8，3),(9，4),(10,5)这六组下标的跳跃步长为5的序列，然后分别对这六组序列进行插入排序，排完序后的整个数列的有序程度就会升高一些，这样就可以提高之后进行直接插入排序的效率了。

接着进行增量为2的插入排序，分别获得下标为(2,0),(3,1),(4,2,0),(5,3,1),(6,4,2,0),(7,5,3,1),(8,6,4,2,0),(9,7,5,3,1),(10,8,6,4,2,0)这九组下标的跳跃步长为2的序列，再分别对这九组序列进行插入排序，排序完后整个序列的有序程度就很高了。看似这一轮的比较次数很多，但其实还有个break语句，其表示若第一次比较不交换时，那就不进行后续的比较了，例如(4，2，0)，若下标为4和2的不需要交换，那说明下标为4，2，0的就已经是有序了，不需要再对2，0进行比较了。若下标为4，2的进行交换了，那还得继续比较下标为4和0的元素。

算法中第一个for循环得到增量矩阵，第二个for循环获得各个分序列中的首元素的下标，第三个for循环对各个分序列进行插入排序。

分析

希尔排序是不稳定排序，其会把不同步长的分序列进行排序，当相同元素被分到不同分序列中时，可能会改变它们的相对位置。

不同步长序列的时间复杂度不一样，若为n/2，n/4....1的步长的话，那最坏的时间复杂度为O().若用Hibbard步长序列(-1),那时间复杂度为O().若用Sedgewick步长序列(混合序列9×-9×+1和-3×+1),那最坏的情况下时间复杂度被优化成O()了。

堆排序

介绍

在之前的文章中介绍了堆这一数据结构，得益于堆的特性，其根节点始终是最大值(或最小值)，我们可以不停的取堆的根节点元素然后按顺序排好，这样就可以得到排好序的序列了。

实现

cpp 复制代码

typedef int ElementType;
#define LeftChild(i) (2*(i)+1)

void Swap(ElementType *a, ElementType *b) {
    ElementType temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

void PercDown(ElementType A[],int i,int N) {
    int Child;
    ElementType Tmp;
    for (Tmp = A[i];LeftChild(i)<N;i=Child) {
        Child = LeftChild(i);
        if (Child!=N-1 && A[Child+1]>A[Child]) {
            Child++;
        }
        if (Tmp<A[Child]) {
            A[i] = A[Child];
        }else {
            break;
        }
    }
    A[i] = Tmp;
}

void HeapSort(ElementType A[],int N) {
    int i;
    for (i=N/2;i>=0;i--) {
        PercDown(A,i,N);
    }
    for (i=N-1;i>0;i--) {
        Swap(&A[0],&A[i]);
        PercDown(A,0,i);
    }
}

得益于堆对应完全二叉树父子节点位置的数学关系，我们可以通过对原始无序序列进行下滤操作从而将其转化成符合堆结构的数组。

此时这个数组的第一个元素是整个序列的最大值，把它和最后的元素进行交换，这样整个序列中，我们完成了最大元素的归位。然后在把除最后元素的其他所有元素进行下滤操作重新形成新堆，再把第一个元素放到倒数第二个位置上，这样就完成了第二个最大元素的归位，循环往复就以从大到小的顺序完成了排序操作。

分析

堆排序是不稳定的，当把栈顶元素和最后有个元素进行交换时，可能会改变相同元素的相对位置。

要进行n-1次交换，每次交换都得重新通过下滤操作构建堆结构(该构建操作的时间复杂度为 O(LogN))，所以一共是O(NLogN)。