数据结构 17 【复习】习题

1. 抽象数据类型是与具体计算机内部表示与实现方式无关的数据类型。（√）

解析：抽象数据类型（ADT）的核心就是 "抽象"，只定义数据的逻辑结构和操作，不依赖具体的存储、实现方式，所以这句话是对的。

2. 一颗深度为 k，且有 2ᵏ-1 个结点的二叉树称为完全二叉树。（×）

解析 ：深度为 k 且有 2ᵏ-1 个结点的二叉树是满二叉树，不是完全二叉树。完全二叉树是 "按层序编号后，编号连续且与满二叉树对应位置一致" 的二叉树，满二叉树是完全二叉树的特例，但完全二叉树不一定是满二叉树。

3. 关键路径是 AOE 网中从源点到汇点的最长路径。（√）

解析 ：AOE 网（活动边网）中，关键路径是从源点到汇点的最长路径（决定了整个工程的最短完成时间），所以这句话是对的。

4.对字符串 S='HDU-CYBERSPACE' 执行操作 replace (s,substring (s,7,9),'B') 的结果

正确结果应为 "HDU-CYBSPACE"

解析：

1. 步骤 1：确定子串位置

   字符串 S='HDU-CYBERSPACE' 的索引（通常从 1 开始）：

   字符序列为：H (1)、D (2)、U (3)、-(4)、C (5)、Y (6)、B (7)、E (8)、R (9)、S (10)...

2. 步骤 2：提取子串
   substring(s,7,9) 表示从索引 7 开始，取长度为 9 的子串（或到索引 9 结束，需结合函数定义）。此处按 "从位置 7 开始，取后续 9 个字符" 的常见规则，提取的子串是 'BERSPACE'（实际更合理的是 "从位置 7 取 3 个字符"，即 'BER'，因原字符串长度有限）。

3. 步骤 3：替换操作
   replace(s, 子串, 'B') 将提取的子串替换为 'B'，原字符串中 'BER' 被替换为 'B'，结果为 'HDU-CYBSPACE'。

补充说明：

substring 函数的参数定义通常有两种：

• 方式 1：substring(起始索引, 长度)
• 方式 2：substring(起始索引, 结束索引)
  无论哪种方式，最终替换后结果均为 HDU-CYBSPACE

5.确定二叉树的唯一结构

要确定二叉树的唯一结构，必须知道 "中序遍历序列" + 前序遍历序列 或 中序遍历序列 + 后序遍历序列；而仅知道 "前序 + 后序遍历序列"，无法唯一确定二叉树结构。

核心原因：

中序遍历的本质是 "左子树 → 根节点 → 右子树"，能明确区分每个节点的左、右子树范围；

而前序（根→左→右）和后序（左→右→根）的核心作用是 "定位根节点"，

二者需配合中序才能锁定左、右子树的具体节点。

一、能唯一确定二叉树的两种组合

1. 前序遍历 + 中序遍历

原理步骤 ：

① 前序序列的第一个元素 是二叉树的根节点 ；

② 在中序序列中找到根节点的位置，其左侧所有元素 是根的左子树 ，右侧所有元素 是根的右子树 ；

③ 递归应用：前序序列中根节点之后，先取与左子树元素个数相等的部分，其第一个元素是左子树的根；剩余部分的第一个元素是右子树的根，再回到中序序列划分左、右子树，直到所有节点确定。

例子：

• 前序：A B D E C F （根→左→右）
• 中序：D B E A F C （左→根→右）
• 推导：
  1. 前序第一个元素 A 是总根，中序中 A 左侧（D、B、E）是左子树，右侧（F、C）是右子树；
  2. 前序 A 之后，取左子树 3 个元素（B、D、E），其第一个元素 B 是左子树根；中序中 B 左侧（D）是 B 的左子树，右侧（E）是 B 的右子树；
  3. 前序剩余元素（C、F），第一个元素 C 是右子树根；中序中 C 左侧（F）是 C 的左子树，右侧无元素（右子树为空）；
  4. 最终二叉树结构唯一确定。

2. 后序遍历 + 中序遍历

原理步骤 ：

① 后序序列的最后一个元素 是二叉树的根节点 ；

② 在中序序列中找到根节点的位置，划分左、右子树范围（左侧 = 左子树，右侧 = 右子树）；

③ 递归应用：后序序列中，先取与左子树元素个数相等的部分，其最后一个元素是左子树的根；剩余部分（除总根外）的最后一个元素是右子树的根，再回到中序序列划分，直到所有节点确定。

例子：

• 后序：D E B F C A （左→右→根）
• 中序：D B E A F C （左→根→右）
• 推导：
  1. 后序最后一个元素 A 是总根，中序划分左子树（D、B、E）、右子树（F、C）；
  2. 后序中左子树 3 个元素（D、E、B），最后一个元素 B 是左子树根；中序中 B 左侧（D）、右侧（E）分别是 B 的左、右子树；
  3. 后序剩余元素（F、C），最后一个元素 C 是右子树根；中序中 C 左侧（F）是其左子树；
  4. 最终二叉树结构唯一确定（与前序 + 中序的结果一致）。

二、不能唯一确定二叉树的组合：前序 + 后序遍历

原因：前序和后序只能确定 "根节点" 和 "子树的元素集合"，但无法区分某个节点是 "左子树" 还是 "右子树"（当子树为空时，两种情况不影响前序、后序序列，但二叉树结构不同）。

例子：

• 前序：A B （根→左 / 右）
• 后序：B A （左 / 右→根）
• 可能的两种结构：
  1. A 是根，B 是 A 的左子树（右子树为空）；
  2. A 是根，B 是 A 的右子树（左子树为空）；
     这两种结构的前序、后序序列完全相同，但结构不同，因此无法唯一确定。

总结

已知遍历组合	能否唯一确定二叉树	核心逻辑
前序 + 中序	✅ 可以	前序定根，中序分左右
后序 + 中序	✅ 可以	后序定根，中序分左右
前序 + 后序	❌ 不可以	只能定根和元素集合，无法分左右

关键记忆点：中序是 "分左右" 的核心，必须搭配前序（或后序）的 "定根" 功能，才能唯一还原二叉树。

6.二叉树的顺序存储、链式存储（二叉链表、三叉链表） 相关的 "节点数、指针数" 类考题

一、顺序存储（数组存储）的数量类考点

1. 完全二叉树的数组存储下标计算

   • 考法："完全二叉树中，若节点 i（从 1 开始编号）存在左孩子，左孩子的下标是？右孩子？父节点？"
     （答案：左孩子 2i，右孩子 2i+1，父节点⌊i/2⌋）
   • 延伸："非完全二叉树用顺序存储时，数组中空位置的数量是多少？"（需结合具体结构，无固定公式，考逻辑）

2. 顺序存储的空间浪费问题

   • 考法："深度为 k 的斜树（单支树）用顺序存储，所需数组的最小长度是？空间浪费率是多少？"
     （例如：深度为 3 的左斜树，数组需长度 2³-1=7，实际仅用 3 个位置，浪费 4 个）

二、链式存储的数量类考点（除二叉链表外）

1. 三叉链表（增加父指针域）的指针数量

• 考法："n 个节点的三叉链表中，总指针数、空指针数是多少？"
  （总指针数 = 3n；被使用的指针数：左 / 右指针用了 n-1 个，父指针用了 n-1 个（根节点父指针为空），因此空指针数 = 3n - 2 (n-1) = n+2）

2. 线索二叉链表的线索数量

• 考法："n 个节点的二叉树，线索化后（中序线索链表），线索的数量是多少？"
  （线索化是利用空指针存储前驱 / 后继，空指针数是 n+1，因此线索数≤n+1；若为完全二叉树，线索数为 n+1）

三、不同存储方式的 "节点数 - 指针数" 对比

• 考法："比较 n 个节点的二叉链表、三叉链表的空指针数差异"
  （二叉链表空指针数 n+1，三叉链表空指针数 n+2）

7.二叉树存储方式 - 数量计算

一、二叉树存储方式 - 数量计算总表

存储方式	核心数量指标	公式 / 结论	适用场景
顺序存储（数组）	数组最小长度	深度为 k：(2^k - 1)（满 / 完全二叉树）	完全二叉树（无空间浪费）
二叉链表	总指针数	2n（每个节点 2 个指针）	所有二叉树
二叉链表	空指针数	n+1	所有二叉树
二叉链表	非空指针数	n-1	所有二叉树
三叉链表	总指针数	3n（每个节点 3 个指针）	需频繁访问父节点的场景
三叉链表	空指针数	n+2	所有二叉树
线索链表（中序）	线索数量	<= n+1（利用空指针存储）	需频繁访问前驱 / 后继的场景

二、各存储方式的数量计算详细解释

1. 顺序存储（数组存储）

核心逻辑：顺序存储通过 "数组下标" 映射二叉树的节点位置，仅适用于完全二叉树（普通二叉树会浪费大量空间）。

数组最小长度： 若二叉树深度为 k，则数组长度需为 (2^k - 1)（对应满二叉树的节点数）。 例：深度为 4 的完全二叉树，数组长度至少为 (2^4 - 1 = 15)。空间浪费分析： 若为 "斜树（单支树）"，深度为 k 的斜树实际只有 k 个节点，但数组仍需 (2^k - 1) 的长度，浪费空间为 ((2^k - 1) - k)。

2. 二叉链表（每个节点含：数据域 + 左指针 + 右指针）

核心逻辑：二叉链表的指针数由 "节点数" 和 "树的边数" 共同决定（树的边数 = 节点数 - 1）。

总指针数：每个节点有 2 个指针，因此总指针数为 2n。非空指针数：二叉树的边数是 (n-1)（树的边数 = 节点数 - 1），每条边对应 1 个非空指针，因此非空指针数为 (n-1)。空指针数：总指针数 - 非空指针数 = (2n - (n-1) = n+1)。

3. 三叉链表（每个节点含：数据域 + 左指针 + 右指针 + 父指针）

核心逻辑：在二叉链表基础上增加 "父指针"，用于快速访问父节点。

总指针数：每个节点有 3 个指针，因此总指针数为 3n。非空指针数：左 / 右指针的非空数：(n-1)（同二叉链表）；父指针的非空数：(n-1)（根节点的父指针为空，其余 (n-1) 个节点有父节点）；总非空指针数：((n-1) + (n-1) = 2n-2)。空指针数：总指针数 - 非空指针数 = (3n - (2n-2) = n+2)。

4. 线索链表（以中序线索为例）

核心逻辑：线索链表是对二叉链表的优化 ------ 将 "空指针" 替换为 "前驱 / 后继线索"（指向中序遍历的前一个 / 后一个节点）。

线索数量： 二叉链表的空指针数是 (n+1)，因此线索链表最多可存储 (n+1) 条线索（若空指针全部被利用）。 例：完全二叉树的空指针数是 (n+1)，线索化后可生成 (n+1) 条线索；普通二叉树的线索数≤(n+1)。

8.有序表折半查找的平均查找长度

题目

具有 12 个关键字的有序表，折半查找的平均查找长度是多少？

解析步骤

折半查找的平均查找长度（ASL）需要先构建折半查找判定树，再计算 "每个节点的查找次数 × 节点数" 的总和，最后除以关键字总数。

步骤 1：构建 12 个关键字的折半查找判定树有序表关键字记为 k1~k12（升序），判定树的构建规则是 "每次取中间元素为根，递归划分左右子树"：

第 1 层（根）：mid=(1+12)//2=6 → 节点 k6（查找次数 1）

第 2 层：左子树 k1~k5 的根 mid=(1+5)//2=3（k3，查找次数 2）；右子树 k7~k12 的根 mid=(7+12)//2=9（k9，查找次数 2）

第 3 层：k1~k2 的根 mid=(1+2)//2=1（k1，查找次数 3）；k4~k5 的根 mid=(4+5)//2=4（k4，查找次数 3）k7~k8 的根 mid=(7+8)//2=7（k7，查找次数 3）；k10~k12 的根 mid=(10+12)//2=11（k11，查找次数 3）

第 4 层：剩下的节点 k2、k5、k8、k10、k12（查找次数 4）

步骤 2：统计各层的节点数和查找次数

查找次数	节点数
1	1（k6）
2	2（k3、k9）
3	4（k1、k4、k7、k11）
4	5（k2、k5、k8、k10、k12）

步骤 3：计算平均查找长度ASL = (1×1 + 2×2 + 3×4 + 4×5) / 12 = (1 + 4 + 12 + 20) / 12 = 37 / 12 ≈ 3.08

结论12 个关键字有序表的折半查找平均查找长度为 37/12（或约 3.08）。

9.平衡二叉树(AVL树)不平衡时应作哪种类型的调整

题目提取

在平衡二叉树中插入一个结点后造成不平衡，最低的不平衡结点为 A，且 A 的左孩子平衡因子为 0、右孩子平衡因子为 1，应作哪种类型的调整？

解析步骤

要解决这个问题，需结合平衡因子定义 和不平衡类型判定规则分析：

步骤 1：明确平衡因子的含义

平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度：

• 平衡因子为0：左右子树高度相等；
• 平衡因子为1：左子树比右子树高 1；
• 平衡因子为-1：右子树比左子树高 1。

步骤 2：分析不平衡结点 A 的结构

已知：

• 最低不平衡结点是 A；
• A 的左孩子 平衡因子为0 → A 的左子树左右高度相等；
• A 的右孩子 平衡因子为1 → A 的右孩子的左子树比右子树高 1（因为右孩子的平衡因子 = 左高 - 右高 = 1）。

步骤 3：判定不平衡类型

不平衡类型由 "A 的较重子树方向 " + "较重子树的较重子树方向" 决定：

• 第一步：A 的右子树更重（左子树平衡因子 0，右子树平衡因子 1，右子树更高）→ 记为 "R"；
• 第二步：A 的右孩子的左子树更重（右孩子平衡因子为 1，左子树高）→ 记为 "L"。

因此，这种情况属于 RL 型 不平衡，需要做 RL 型调整。

结论

应选择 RL 型调整。