普通数组-----缺失的第一个正数

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题目解析

这道题要求在一个未排序的整数数组中，找出没有出现的最小正整数，并且需要满足两个严格的条件：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)（常数级额外空间）

直接排序或使用哈希表的方法，要么时间复杂度不达标，要么空间复杂度不达标。因此，我们需要采用一种巧妙的原地置换策略，利用数组本身作为哈希表来解决问题。

核心思路

对于一个长度为 n 的数组，缺失的最小正整数只可能在 [1, n+1] 范围内：

• 如果 [1, n] 内的所有整数都出现了，那么缺失的就是 n+1。
• 否则，缺失的就是 [1, n] 中第一个未出现的数。

我们的目标就是把数组中所有在 [1, n] 范围内的数，放到它们 "应该" 在的位置上，即数值 k 应该放在索引 k-1 的位置上。这样，我们只需要遍历一次数组，找到第一个位置 i 上的数不等于 i+1，i+1 就是我们要找的答案。

详细步骤

1. 原地置换 ：遍历数组，对于每个元素 nums[i]，如果它是一个在 [1, n] 范围内的正整数，并且它没有在正确的位置 nums[i]-1 上，就将它与 nums[nums[i]-1] 交换，直到当前位置的元素正确或超出范围为止。
2. 查找缺失 ：再次遍历数组，检查每个位置 i。如果 nums[i] != i+1，说明 i+1 就是缺失的最小正整数。
3. 全包含 ：如果遍历结束后所有位置都正确，说明 [1, n] 都存在，返回 n+1。

完整代码

cpp

class Solution {
public:
    int firstMissingPositive(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // 第一步：原地置换，将[1, n]范围内的数放到正确位置
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            // 当nums[i]在[1, n]范围内，且不在正确位置时，进行交换
            while (1 <= nums[i] && nums[i] <= n && nums[i] != nums[nums[i] - 1]) {
                int j = nums[i] - 1; // 计算正确的位置索引
                swap(nums[i], nums[j]); // 交换到正确位置
            }
        }
        
        // 第二步：遍历查找第一个缺失的正整数
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (nums[i] != i + 1) {
                return i + 1;
            }
        }
        
        // 如果[1, n]都存在，返回n+1
        return n + 1;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(n)
  • 虽然有两层循环，但每个元素最多被交换到其正确的位置一次，因此总的交换次数是 O (n)。两次线性遍历也是 O (n)，所以整体时间复杂度为 O (n)。
• 空间复杂度 ：O(1)
  • 我们只在原数组上进行操作，没有使用额外的辅助空间，满足了常数级空间复杂度的要求。

示例演示

以 nums = [3, 4, -1, 1] 为例：

1. 初始数组：[3, 4, -1, 1]
2. 处理 i=0，nums[0]=3，应在位置 2，交换后数组变为 [-1, 4, 3, 1]。
3. 处理 i=1，nums[1]=4，应在位置 3，交换后数组变为 [-1, 1, 3, 4]。
4. 处理 i=1，nums[1]=1，应在位置 0，交换后数组变为 [1, -1, 3, 4]。
5. 处理 i=2，nums[2]=3，已在正确位置；i=3，nums[3]=4，已在正确位置。
6. 最终数组：[1, -1, 3, 4]。
7. 遍历查找，发现 i=1 时 nums[1] != 2，所以返回 2。