1 向平衡因子不为零的节点的树中插入新节点
- 平衡二叉树 ：是一种二叉排序树，要求每个节点的 "左子树高度 - 右子树高度"（即平衡因子）的绝对值不超过 1（平衡因子只能是 - 1、0、1）。
- 插入新节点的影响：插入节点会让某条路径的子树高度 + 1，可能导致祖先节点的平衡因子超出范围（变成 - 2 或 2），此时才需要 "平衡旋转" 来恢复平衡。
题目分析 ：
题目说**"向平衡因子不为零的节点的树中插入新节点，必引起平衡旋转"**
但实际情况是：插入后，该节点的平衡因子可能只是从 - 1/1 变成 0（比如左子树高度 + 1，让原本平衡因子为 1 的节点，左、右子树高度相等），此时平衡因子仍符合要求，不需要旋转。
所以插入新节点后，不一定会触发平衡旋转，题目说法错误。
2 B-树 的插入算法
- B 树的核心特点 ：B 树是一种多路平衡查找树（不是二叉树），要求每个节点的子节点数量（以及关键字数量）在规定范围内（比如 m 阶 B 树，每个节点的关键字数要在
⌈m/2⌉-1到m-1之间）。 - B 树的插入逻辑 ：当插入一个关键字导致某个节点的关键字数超过上限（比如 m 阶 B 树节点关键字数达到 m），就会触发节点分裂：把这个节点从中间分成两个节点，中间的关键字向上移动到父节点中。
题目分析 ：
普通平衡树（比如平衡二叉树）需要专门的 "旋转" 操作来维持平衡；而 B 树的 "分裂" 操作本身，会让节点的关键字数和子节点数始终保持在规定范围内，自然维持了树的平衡结构 ------ 相当于用 "向上分裂" 代替了专门的平衡调整。
所以题目说法是正确的。
B 树是一种多路平衡查找树（不是二叉树，每个节点可以有多个子节点），常用在数据库、文件系统的索引结构中（比如 MySQL 的 InnoDB 引擎就用 B 树的变种 B + 树做索引）。
3 个核心特点：
- 多路结构：假设是 "m 阶 B 树"（m 是阶数，比如 m=3），每个节点可以存多个关键字（比如 m=3 时，每个节点最多存 2 个关键字），同时有多个子节点（最多 3 个子节点）。
- 平衡特性：B 树的所有叶子节点都在同一层（树的高度是平衡的），不需要像平衡二叉树那样用旋转维持平衡。
- 插入 / 删除的 "分裂 / 合并" ：
- 插入时，若节点关键字数超过上限，就把节点从中间 "分裂"，中间关键字上移到父节点；
- 删除时，若节点关键字数不足下限，就和兄弟节点 "合并"，并调整父节点的关键字。
这两个操作天然维持了树的平衡，不用额外调整。
简单说，B 树是为了让 "磁盘等外部存储设备" 快速查找数据设计的 ------ 多路结构减少了磁盘 IO 次数，平衡特性保证了查找效率稳定。
3 平衡二叉树的检索性能
核心知识点
4 二叉排序树检索效率和树高
5 二叉排序树 & 遍历
比如一棵二叉排序树：
根节点是 5，左子树是 3（3的左子树是2、右子树是4），右子树是7（7的右子树是8）。
这棵树的结构是：
5
/ \
3 7
/ \ \
2 4 8- 前序遍历 （根→左→右）：
5 → 3 → 2 → 4 → 7 → 8（先根后左，不是从小到大） - 中序遍历 （左→根→右）：
2 → 3 → 4 → 5 → 7 → 8（正好是从小到大的序列）
1. 二叉排序树的定义
- 规则：左子树所有节点值 < 根节点值 < 右子树所有节点值（左右子树也需满足此规则）。
2. 三种遍历方式（以示例树 5(3(2,4),7(,8)) 为例）
| 遍历方式 | 顺序 | 遍历结果（示例树） | 是否有序（从小到大） |
|---|---|---|---|
| 前序遍历 | 根 → 左子树 → 右子树 | 5 → 3 → 2 → 4 → 7 → 8 | ❌ （先根后左，无序） |
| 中序遍历 | 左子树 → 根 → 右子树 | 2 → 3 → 4 → 5 → 7 → 8 | ✅ （二叉排序树的特性） |
| 后序遍历 | 左子树 → 右子树 → 根 | 2 → 4 → 3 → 8 → 7 → 5 | ❌ （后访问根，无序） |
3. 关键结论
- 唯一能让二叉排序树得到有序序列的遍历方式是：中序遍历。
6 负载因子影响 "碰撞概率"（α 越小概率越低），但不能彻底避免碰撞
先搞懂两个概念：
- 散列表（哈希表）：用 "哈希函数" 把数据映射到数组位置（叫 "散列地址"）来存储，比如把 "学号 1001" 映射到数组下标 1。
- 负载因子 α ：公式是
α = 已存储的元素个数 / 散列表的数组长度→ 代表散列表的 "装满程度"，α 越小越空。
题目说法是错的！
负载因子 α<1，只是说明 "散列表没装满"，但无法避免碰撞 。
"碰撞" 是指：两个不同的数据，通过哈希函数算出了同一个散列地址（比如学号 1001 和 2001，哈希函数取最后一位，都映射到下标 1）。
哪怕 α 很小（比如散列表长度是 100，只存了 1 个元素，α=0.01），只要哈希函数设计得不够好，就可能出现两个元素映射到同一地址 → 碰撞还是会发生。
简单说：负载因子影响 "碰撞概率"（α 越小概率越低），但不能彻底避免碰撞。
7 哈希表解决 "碰撞"（多个数据映射到同一地址）
先明确：哈希表的 "节点结构" 分不同实现方式
哈希表解决 "碰撞"（多个数据映射到同一地址）的方法主要有两种，对应的节点结构不一样：
-
开放定址法 ：
碰撞时，通过 "找下一个空位置" 来存数据（比如当前位置被占了，就看下一个下标）。
这种方式的哈希表节点，确实只存数据元素自身（不需要指针）。
-
链地址法（拉链法） ：
碰撞时，把同一地址的所有数据存在一个 "链表" 里。
这种方式的哈希表节点，不仅要存数据元素，还得包含 "指向下一个节点的指针"（用来连链表）。
题目说法是错的！
因为哈希表有 "链地址法" 这种实现方式，它的节点是包含指针的。
题目说 "只包含数据自身、不含任何指针"，把情况说死了，所以不对。
8 线性探测法
首先解释线性探测法 ：
它是哈希表解决冲突的一种方法。当插入元素时，若哈希函数计算的地址已被占用，则依次检查下一个地址（地址 + 1，超出表长则循环到开头），直到找到空地址；"搜索次数" 指从初始地址开始，尝试的地址数量（包括最终成功存放的地址）。
接下来解这道题：
已知：哈希表地址区间 0-17（共 18 个单元），哈希函数H(K)=K mod 17，关键字序列：26,25,72,38,8,18,59。
步骤 1：依次计算前 6 个关键字的哈希地址，并处理冲突
- 26 ：
26 mod 17 = 9→ 地址 9（空），直接存入，搜索次数 1。 - 25 ：
25 mod 17 = 8→ 地址 8（空），直接存入，搜索次数 1。 - 72 ：
72 mod 17 = 72-4×17=72-68=4→ 地址 4（空），直接存入，搜索次数 1。 - 38 ：
38 mod 17 = 38-2×17=4→ 地址 4（已被 72 占用，冲突）。
线性探测：地址 4→5（空），存入地址 5，搜索次数 2。 - 8 ：
8 mod 17 = 8→ 地址 8（已被 25 占用，冲突）。
线性探测：地址 8→9（已被 26 占用）→10（空），存入地址 10，搜索次数 3。 - 18 ：
18 mod 17 = 1→ 地址 1（空），直接存入，搜索次数 1。
步骤 2：计算 59 的哈希地址，处理冲突并统计搜索次数
59 ：59 mod 17 = 59-3×17=59-51=8 → 初始地址 8。
线性探测过程：
- 地址 8（被 25 占用）→ 第 1 次尝试
- 地址 9（被 26 占用）→ 第 2 次尝试
- 地址 10（被 8 占用）→ 第 3 次尝试
- 地址 11（空）→ 第 4 次尝试，成功存入。
因此，存放元素 59 需要搜索的次数是4。
解析：
"同义词" 指多个关键字的哈希地址相同，线性探测法下，这 k 个关键字会依次占用连续的地址：
- 第 1 个同义词：直接存入初始地址，探测次数为 1；
- 第 2 个同义词：冲突后探测下 1 个地址，探测次数为 2；
- 第 3 个同义词：冲突后探测下 2 个地址，探测次数为 3；
- ......
- 第 k 个同义词：探测次数为 k。
因此，总探测次数是 D 。
补充说明：
该结论的前提是 "哈希表初始为空，且同义词的初始地址无其他元素占用"，此时探测次数最少（无额外冲突）。
9 二次探测法
一、二次探测法介绍
二次探测法是哈希表解决冲突的一种方法：当关键字通过哈希函数得到的初始地址H0被占用时，依次尝试地址H0 ± 1², H0 ± 2², H0 ± 3²,...（需保证地址在哈希表区间内），直到找到空地址。
二、题目解答步骤
已知：
- 哈希表长 = 14（地址区间：0~13）
- 哈希函数：
H(key) = key % 11 - 已存关键字：15、38、61、84
- 待插入关键字：49
步骤 1：计算 49 的初始哈希地址
H(49) = 49 % 11 = 5（因为 11×4=44，49-44=5）。
步骤 2：检查初始地址是否被占用
先计算已存关键字的哈希地址，确认地址 5 是否被占用：
- 15：
15%11=4→ 地址 4 - 38：
38%11=5→ 地址 5（已被占用，冲突）
步骤 3：用二次探测法找空地址
二次探测的地址公式为：Hi = (H0 ± i²) % 表长（i 从 1 开始）。
- i=1 ：
- 尝试
H0 + 1² = 5 + 1 = 6→ 检查地址 6：未被占用？
先确认已存关键字的地址：- 61：
61%11=6→ 地址 6（被占用，冲突）
- 61：
- 再尝试
H0 - 1² = 5 - 1 = 4→ 地址 4（被 15 占用，冲突）
- 尝试
- i=2 ：
- 尝试
H0 + 2² = 5 + 4 = 9→ 检查地址 9：
已存关键字 84 的地址：84%11=7（11×7=77，84-77=7）→ 地址 7，地址 9 未被占用。
- 尝试
因此，49 最终放入的位置是9。
答案：D
10 哈希查找
一、哈希查找的核心概念
- 链地址法（拉链法） ：
把哈希地址相同的元素存在同一个链表中（每个哈希地址对应一个链表）。 - 聚集现象 ：
哈希表中元素集中在某一区域的现象（会降低查找效率）。 - 再哈希法 ：
冲突时用多个哈希函数，依次计算地址直到找到空位置。
二、逐个分析题目中的 4 个说法
（1）"采用链地址法解决冲突时，查找一个元素的时间是相同的"
- 错误。
链地址法中，不同链表的长度可能不同：若某个哈希地址的链表很长，查找该链表中元素的时间会比短链表的元素长。
（2）"采用链地址法解决冲突时，若插入规定总是在链首，则插入任一个元素的时间是相同的"
- 正确。
插入到链首只需修改新节点的指针指向原链首，再将哈希地址指向新节点，操作时间与链表长度无关，因此插入时间相同。
（3）"用链地址法解决冲突易引起聚集现象"
- 错误。
链地址法中，冲突元素是分散在不同链表中的，不会集中在哈希表的某一区域，因此不会引起聚集现象（聚集是开放定址法的问题）。
（4）"再哈希法不易产生聚集"
- 错误。
再哈希法本质是开放定址法的一种，冲突时会依次尝试新地址，仍可能出现元素集中在某一区域的情况，因此仍易产生聚集。
三、结论
不正确的说法是（1）（3）（4），共 3 个。
答案：C
11 B - 树
B - 树的核心属性
m 阶 B - 树是一种m 叉平衡排序树，需满足两个关键特征：
- m 叉树：每个节点最多有 m 个子节点（对应最多有\(m-1\)个关键字）；
- 平衡排序树 ：
- 排序性：节点内的关键字有序，且子树的关键字与父节点关键字满足大小关系；
- 平衡性：所有叶子节点在同一层，避免了树的高度失衡。
12 B 树和 B + 树
一、B 树（也叫 B - 树）
可以理解为 "多叉平衡排序树"，核心特点：
- 每个节点存关键字 + 子节点指针；
- 关键字在节点中有序排列，子树的关键字与父节点关键字满足大小关系；
- 所有叶子节点在同一层（平衡）；
- 适合随机查找，但顺序查找（比如找 "比 x 大的所有元素"）需要逐层遍历，效率低。
二、B + 树（B 树的变种）
是 "带叶子节点链表的 B 树"，核心特点：
- 非叶子节点只存 "索引关键字"（不存数据），数据只存在叶子节点；
- 所有叶子节点按关键字有序链接成链表；
- 既支持随机查找（和 B 树一样从根节点找），也支持高效的顺序查找（直接遍历叶子链表）；
- 是数据库、文件系统索引的常用结构（比如 MySQL 的 InnoDB 索引）。
一句话总结区别：
B 树 "节点存数据 + 索引"，适合随机查；B + 树 "叶子存数据 + 链表"，同时支持随机查和顺序查。
13 m 阶 B 树的核心定义
14 平衡二叉树（AVL 树）
一、基础概念
- 平衡二叉树（AVL 树） ：是二叉排序树，且每个节点的平衡因子（左子树高度 - 右子树高度）的绝对值不超过 1。
- 不平衡调整 ：插入节点后，若某节点平衡因子绝对值 > 1，则需通过 "旋转" 调整。调整类型由 "最低不平衡节点 A" 的左 / 右子树 及子树的不平衡方向决定，分为 4 种：LL、LR、RR、RL。
二、4 种调整类型的判断逻辑
调整类型的命名规则：
- 第一个字母：最低不平衡节点 A 的不平衡侧（左子树失衡→L，右子树失衡→R）；
- 第二个字母：A 的失衡子树的失衡侧（子树的左子树失衡→L，子树的右子树失衡→R）。
三、题目分析
已知条件：
- 最低不平衡节点为 A；
- A 的左孩子平衡因子为 0（左孩子的左右子树高度相等）；
- A 的右孩子平衡因子为 1 （右孩子的左子树比右子树高 1）→ 说明 A 的右子树失衡 ，且右子树的左子树失衡。
对应调整类型：
- 第一个字母：A 的失衡侧是 "右子树"→ R；
- 第二个字母：右子树的失衡侧是 "左子树"→ L；
因此调整类型为RL 型。
答案：C
15 各查找方法的特性对比
16 分块查找的核心组织方式
分块查找的核心组织方式
分块查找将数据分为若干块，并满足两个关键条件：
- 块内无序：每一块内部的数据可以不按顺序排列；
- 块间有序：不同块之间必须有序（例如，第 1 块的所有数据都小于第 2 块的所有数据）；
- 建立索引块：用 "每块的最大（或最小）数据" 组成一个索引表，通过索引表快速定位目标数据所在的块。
选项分析
- A 错误：分块查找不要求 "块内数据有序"。
- B 正确：符合分块查找 "块内无序、块间有序、用块的最大 / 最小数据做索引" 的核心组织方式。
- C 错误：分块查找不需要 "块内数据有序"。
- D 错误：分块查找不强制 "每块数据个数相同"（仅需合理分块即可）。
答案：B
17 二分查找的条件
二分查找的核心条件
- 表必须有序：数据需按关键字升序或降序排列；
- 表必须是顺序存储：因为二分查找需要通过 "下标" 随机访问中间元素，链表无法高效实现随机访问。
选项分析
- A 错误：二分查找不能用链表存储（链表无随机访问下标）。
- B 错误：二分查找对数据类型无限制，只要能比较大小即可（如字符串）。
- C 错误：表有序即可，升序或降序都可以（只需调整比较逻辑）。
- D 正确：符合 "表有序 + 顺序存储" 的核心条件。
答案：D
18 平均查找长度（ASL）的计算逻辑
顺序查找中，每个记录的查找长度（即查找该记录需要比较的次数）为：
- 第 1 个记录：查找长度 = 1
- 第 2 个记录：查找长度 = 2
- ...
- 第 n 个记录：查找长度 = n
