1 树和二叉树习题
答案及解析：
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错误
解析：二叉树不是树的特殊形式（树的子节点无左右次序，二叉树的子节点有左右次序），二者是不同的数据结构。
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错误
解析：度为 2 的树仅要求节点最大度为 2，但二叉树要求子节点有左右区分（即使只有一个子节点，也要明确是左 / 右孩子），二者定义不同。
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正确
解析：树转二叉树的规则是 "左孩子右兄弟"，根节点无兄弟，因此其右子树必然为空。
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错误
解析：A 有 3 个兄弟，则 B 的子节点数为（3+1）=4，因此 B 的度是 4。
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错误
解析：仅先序 + 后序遍历无法唯一确定二叉树（例如：先序为 "AB"、后序为 "BA"，可对应两种不同结构的二叉树）。
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正确
解析：哈夫曼树的构造规则是 "选最小权值节点合并"，因此权值大的节点会优先靠近根节点，保证带权路径长度最短。
2 二叉排序树
3 图算法
Prim 算法
Prim 算法是用来找连通网（带权无向连通图）最小生成树 的方法，核心是 "从小集合逐步扩展，选最短边"。
先明确几个概念
- 连通网：带权的无向连通图（比如城市之间的公路，权是距离）。
- 最小生成树：用最少的边（共 n-1 条，n 是顶点数）把所有顶点连起来，且边的总权值最小的子图。
算法过程翻译
假设现在有个连通网N（顶点集合V，边集合E），要找它的最小生成树T（顶点还是V，边集合TE）：
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初始化 ：
先选一个 "起点顶点"u₀（随便选哪个都行） ，把它放进一个 "已选顶点集合"U里；此时最小生成树的边集合TE是空的（还没选边）。 -
选最短边，扩展集合 ：
找一条 "一头在
U里（已选顶点）、另一头在V-U里（没选顶点） " 的边，挑权值最小的那条（比如(u₀, v₀)）。把这条边加入
TE（现在生成树多了一条边），同时把v₀（这条边的 "未选顶点"）放进U（现在U里的顶点变多了）。 -
重复到覆盖所有顶点 ：
一直重复步骤 2，每次都选 "连接已选顶点和未选顶点的最短边"，直到
U包含了所有顶点（U=V）。此时
TE里正好有n-1条边，T=<V, TE>就是最小生成树。
举个例子（比如 3 个城市 A、B、C）
- 顶点
V={A,B,C}，边权：A-B=2，A-C=5，B-C=3。 - 步骤 1：选起点 A，
U={A}，TE=空。 - 步骤 2：找 "U 里的 A" 连 "V-U 里的 B、C" 的边，最短边是 A-B（权 2），把 A-B 加入 TE，
U={A,B}。 - 步骤 3：找 "U 里的 A/B" 连 "V-U 里的 C" 的边：A-C=5，B-C=3 → 选 B-C（权 3），加入 TE，
U={A,B,C}（覆盖所有顶点）。 - 结果：
TE={A-B, B-C}，总权 2+3=5，是最小生成树。
Kruscal 算法
算法核心逻辑
- 初始化 ：将最小生成树
T初始化为仅包含所有顶点、无边的集合（即T = <V, ∅>）； - 选边规则 ：每次选择权值最小 且连接两个不同连通分量的边，将其加入生成树的边集合
TE； - 终止条件 ：重复选边，直到所有顶点处于同一个连通分量（此时生成树包含
n-1条边，n为顶点数）。
算法特点
- 属于 "贪心算法"：通过每一步选局部最优（最小权值且不形成环的边），最终得到全局最优（最小生成树）；
- 通常结合 "并查集" 数据结构，高效判断边的两个顶点是否属于同一连通分量，避免生成环。
步骤
1.先对所有边的权值排序，由小到大排序。
2.从小的权值开始选边，核心是选边，选边加入生成树的队列但是不能有环（因为是树）。
Dijkstr 算法
步骤 1：初始化
- 设顶点集合
S（已确定最短路径的顶点），初始时S = {v_s}； - 设距离数组
dist：dist[i]表示v_s到顶点v_i的当前最短距离，初始时dist[s] = 0，其余顶点的dist设为 "无穷大"（表示暂未可达）。
步骤 2：迭代求最短路径
重复以下操作，直到S包含所有顶点：
- 选距离最小的顶点 ：在
S外的顶点中，选dist值最小的顶点u，将u加入S； - 更新相邻顶点的距离 ：对
u的每个邻接顶点v（若v不在S中），计算new_dist = dist[u] + 边(u,v)的权值；- 若
new_dist < dist[v]，则更新dist[v] = new_dist。
- 若
示例说明（假设源点是v1，图中有边v1→v2(权6)、v1→v3(权4)）：
- 初始：
S={v1}，dist[v1]=0，dist[v2]=∞，dist[v3]=∞； - 第 1 次迭代：选
v2（dist=6）加入S，更新v2的邻接顶点距离； - 第 2 次迭代：选
v3（dist=4）加入S，更新v3的邻接顶点距离； - 最终
dist数组就是v1到各顶点的最短路径长度。
注意 ：Dijkstra 算法仅适用于边权值非负的图（若有负权边，需用 Bellman-Ford 算法）。
4 拓扑排序
这是有向图的拓扑排序 ，它的核心作用是：
在一个 **有向无环图（DAG）**中，找到一个顶点的线性序列，使得对于图中任意一条有向边（u→v），顶点 u 都出现在顶点 v 的前面。
实际用途
拓扑排序常用于处理依赖关系的任务调度（课上讲的装修示例），比如：
- 课程安排：若课程 B 需要先学课程 A，拓扑排序能给出合理的选课顺序；
- 项目流程：任务 B 依赖任务 A 完成，拓扑排序可确定任务的执行顺序；
- 编译依赖：程序模块的编译顺序（被依赖的模块先编译）。
如果图中存在回路（比如 A→B、B→C、C→A），拓扑排序会执行失败，这也可以用来检测图中是否存在环。
5 AOE网
6 图习题
本章小结
判断题
1. 答案：正确
解析：邻接矩阵是一个n×n的二维数组（n为顶点数），无论边数多少，存储空间固定为n²（不考虑压缩），因此只与顶点数有关。
2. 答案：错误
解析：若图是非连通图 （无向图）或非强连通图（有向图），从某一顶点出发的遍历无法访问到所有顶点（只能访问所在连通分量 / 强连通分量的顶点）。
3. 答案：错误
解析：遍历序列唯一的原因是 "每个顶点的邻接顶点只有一个可选"（即每个顶点的出度≤1），但弧数不一定是n-1（例如有向图存在环且每个顶点出度为 1 时，弧数可能等于n）。
4. 答案：错误
解析：邻接表既可以存储有向图，也可以存储无向图（无向图的每条边需在两个顶点的邻接链表中各存一次）；邻接矩阵确实同时适用于有向图和无向图。
5. 答案：错误
解析：AOV 网的拓扑排序结果通常不唯一。例如，若存在多个无前置依赖的顶点，选择不同顶点的顺序会得到不同的拓扑序列。
6. 答案：正确
解析：拓扑排序的前提是图为 "有向无环图（DAG）"，若图存在回路，无法找到满足 "所有前驱顶点先于后继顶点" 的线性序列，因此不能进行拓扑排序。
7. 答案：正确
解析：无向图的邻接矩阵满足A[i][j] = A[j][i]（对称矩阵），因此只需存储上三角或下三角部分（含对角线），即可节省一半存储空间。
8. 答案：错误
解析：AOE 网中可能存在多条关键路径（即路径长度等于工程最短完成时间的路径），例如当多个路径的权值和均为最大值时，这些路径都是关键路径。
9. 答案：正确
解析：最小生成树的边数固定为n-1（n为顶点数）。若最小生成树不唯一，说明存在多条权值最小的边，且图的总边数多于n-1（否则无法替换边得到不同的最小生成树）。
10. 答案：错误
解析："最小代价生成树" 的定义就是代价（所有边权值和）最小的生成树，因此其代价必然小于等于其他任意生成树的代价。